Konvergenz von Folgen

15.01.2011, 21:51	b_o_g	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Folgen Meine Frage: Ich habe zwei Folgen $\begin{eqnarray} a_{n},b_{n} \end{eqnarray}$ aus der Menge der komplexen Zahlen und eine Folge $\begin{eqnarray} a_{n}b_{n} \end{eqnarray}$ . Nun soll $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ gegen eine komplexe Zahl a und $\begin{eqnarray} a_{n}b_{n} \end{eqnarray}$ gegen Null konvergieren. Ich soll nun herausfinden, ob $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ unter diesen Bedingungen beschränkt ist. Meine Ideen: Ich soll die Fälle a=0 und a ungleich 0 unterscheiden. Wenn a=0 ist, dann ist es logisch: Solange die andere Folge nicht divergiert, kommt bei der Multiplikation eine Nullfolge heraus. Aber wie packe ich das in einen mathematischen Beweis? Und im anderen Fall bin ich relativ ratlos. Da nicht dastand, was ich genau zeigen soll, vermute ich, dass $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ in diesen Fall divergieren kann.
16.01.2011, 00:33	MI	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Folgen Wie sieht's denn hiermit aus: $\begin{eqnarray} a_n:=\frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_n:=n \end{eqnarray}$ Das Produkt ist eine astreine Nullfolge, die erste Folge konvergiert gegen Null und die zweite divergiert. Nächste Frage: Was kannst du über den Betrag des Produkts aussagen? Damit sollte dir eine Idee für den zweiten Aufgabenteil kommen, wenn du überlegst, warum aus Konvergenz in der Norm wohl auch folgt, dass die Folge der Beträge konvergiert. Gruß MI
16.01.2011, 17:36	b_o_g	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich also zeige, dass die Folge der Beträge von $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ konvergiert, habe ich gezeigt, dass sie beschränkt ist. Logisch, denn dann kommt die Folge im positiven und negativen Bereich nicht über einen bestimmten Wert hinaus. Oder sollte ich das irgendwie durch Umformung zeigen? Da fällt mir nicht wirklich was ein. Den Betrag des Produkts kann ich in den Betrag der beiden Folgen splitten. $\begin{eqnarray} \|a_{n}b_{n}\| = \|a_{n}\|\|b_{n}\| \end{eqnarray}$ Lasse ich nun das n gegen unendlich laufen, steht da: $\begin{eqnarray} \|0\| = \|a\|\|b_{\infty}\| \end{eqnarray}$ Wenn a nicht Null ist, muss daher die Betragsfolge von $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ gegen Null konvergieren, deswegen ist diese Folge beschränkt. Kann ich das so formulieren oder hab ich irgendwo einen Fehler drin?

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