Steilste bzw. flachste Stelle

23.11.2006, 18:40

Steilste bzw. flachste Stelle

Hi

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^3+3x^2+5x-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb{D}=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Wo hat die Umkehrfunktion von f die flachste oder steilste Stelle?

Wie kann ich so etwas bestimmen? Ich dachte immer, dass die Funktion immer steiler wird, um so weiter sie der x-Achse folgt(Ausnahme Wurzelfunktionen, wo die steilste Stelle bei 0 ist)

Wie bestimm ich das?

23.11.2006, 18:44

Bjoern1982

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Hallo

Naja, am steilsten wird der Graph einer Funktion wohl da sein, wo seine Steigung am "extremsten" ist Augenzwinkern

Gruß Björn

23.11.2006, 19:06

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Und gerade das ist die Frage- Wie kann ich diese Stelle berechnen?

23.11.2006, 19:11

kiste

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Die Funktion der Steigung ist der erste Ableitung der Umkehrfunktion.
Die Berechnung von Extremstellen wird mit der ersten Ableitung = 0 durchgeführt.
Das sollte dir helfen

23.11.2006, 19:19

Bjoern1982

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Wo ist die Steigung extrem heisst eben wo wird der Graph der Ableitung extrem...also in den Wendestellen ist die Steigung immer extrem.

Gruß Björn

23.11.2006, 19:20

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Zitat:

Original von kiste
Die Funktion der Steigung ist der erste Ableitung der Umkehrfunktion.
Die Berechnung von Extremstellen wird mit der ersten Ableitung = 0 durchgeführt.
Das sollte dir helfen

Das wird mir nicht ein bisschen weiter helfen, weil ich das selber kenne und hier nicht nach Extremstellen gefragt sind. Zudem haben die Extremstellen die Steigung Null, also können sie nie am steilsten sein

23.11.2006, 19:22

Bjoern1982

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@ PG

Guck nochmal einen Post drüber...da steht die Antwort smile

23.11.2006, 19:35

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Ich verstehe.
Du meinst also die 2. Ableitung und das dann Null setzen. Das ist eine gute Idee

$\begin{eqnarray*} 0=6x+6 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$

Das müsste nach deiner Beschreibung die steilste Stelle sein.
Das ist ja die Bedingung für Wendestellen und Wendestellen waren zwischen zwei Extrempunkten die steilsten Stellen.
Doch wenn man weiter denkt, dann merkt man einfach, dass es steilere Stellen als die Wendestellen gibt. Du kannst immer weiter nach rechts gehen und es wird immer größer

Die flachsten müssten dann die Extremstellen sein.

Überprüf mein Ergebnis und widerleg die Aussage: Um so weiter´man in der x-Achse "läuft", desto steiler wird die Funktion Augenzwinkern

Wenn das alles falsch ist, dann versteh ich dein post nicht

edit: Natürlich gilt diese Aussage nicht für alle Funktionen(z.B. Wurzelfunktionen)

edit2: ergebnis editiert

edit: Das stimmt ja alles nicht, weil es nicht von der Umkehrfunktion ist! Hammer

23.11.2006, 19:41

Bjoern1982

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Wenn der Graph gegen unendlich bzw minus unendlich strebt wird man wohl kaum die steilsten Stellen außerhalb des Bereichs der Extremstellen feststellen können.

Also denke ich, dass es nur sinnvoll sein kann die steilste bzw flachste Stelle in einem bestimmten Intervall zu untersuchen.

Gruß Björn

23.11.2006, 19:54

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Wenn der Graph gegen unendlich bzw minus unendlich strebt wird man wohl kaum die steilsten Stellen außerhalb des Bereichs der Extremstellen feststellen können.

Also denke ich, dass es nur sinnvoll sein kann die steilste bzw flachste Stelle in einem bestimmten Intervall zu untersuchen.

Ich versteh nicht:
1. Warum werden meine Fragen nicht beantwortet? Ich weiß noch nicht mal, ob ich die Aufgabe, laut deinen Post, bearbeitet habe

2.

Zitat:

Also denke ich, dass es nur sinnvoll sein kann die steilste bzw flachste Stelle in einem bestimmten Intervall zu untersuchen.

Wir denken nicht, sondern wissen.(Nicht böse aufnehmen)
Man wird in der Tat steilere Stellen finden. Ich gebe dir ein Beispiel

Die einfache quadratische Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
Diese Funktion hat als Graph die flachste Stelle an der Stelle 0, weil dort ein Extremum ist( ich hoffe, du stimmst mir da zu oder ich versteh die Definition von "flach" nicht)
f'(x)=2x

Hier bei muss man einfach die erste Ableitung gleich Null setzen.

Das nächste ist die steilste Stelle und man sieht sofort an der Ableitung der Funktion f, dass die steilste Stelle die Steigung unendlich hat(Man kann immer größere x-Werte einsetzen und die Ordinaten der 1. Ableitung werden dadurch auch immer größer). Die steilste Stelle ist somit eigentlich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ bzw. 90°.
Im Buch steht der Definitionsbereich und das ist R. Also in ganz R.

Wie muss ich da nun genau vorgehen?

23.11.2006, 20:00

Bjoern1982

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Zitat:

dass die steilste Stelle die Steigung unendlich hat(Man kann immer größere x-Werte einsetzen und die Ordinaten der 1. Ableitung werden dadurch auch immer größer). Die steilste Stelle ist somit eigentlich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ bzw. 90°.

Tja, und da unendlich keine Zahl ist, kann man das meiner Meinung nach eben nicht angeben...

Aber wenn dir mein Beitrag nicht hilft bzw. unverständlich ist dann findet sich vielleicht noch einer der Moderatoren zu ergiebigeren Diskussionen.

Gruß Björn

23.11.2006, 20:10

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Zitat:

Original von Bjoern1982

Tja, und da unendlich keine Zahl ist, kann man das meiner Meinung nach eben nicht angeben...

Aber trotzdem kann ich steilere Stellen angeben als z.B. -1 .

$\begin{eqnarray*} x_s=-1 \end{eqnarray*}$
müsste die steilste Stelle sein und flache gibt es nicht( was ich auch komisch finde)

Kannst du das wenigstens überprüfen und wenn sich andere Moderatoren bitte auch noch melden könnten für die Beantwortung meiner Fragen, wäre ich sehr dankbar. smile

edit: Ergebnis stimmt ja gar nicht, weil es ja nicht von der Umkehrfunktion ist Hammer

23.11.2006, 20:34

Bjoern1982

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Zitat:

Aber trotzdem kann ich steilere Stellen angeben als z.B. -1 .

Steiler als was ?

Bei der Normalparabel befindet sich die flachste Stelle mit Sicherheit an der Scheitelstelle...da sind wir uns glaub ich einig smile

Wendepunkte besitzt diese ja eh nicht, von daher kann man links und rechts vom Scheitelpunkt noch soweit gehen wie man will. man wird nie eine Stelle finden wo man sagen kann "Jap, das ist die Stelle, wo meine Parabel die höchste Steigung hat, also am steilsten verläuft".

Sorry, aber so sehe ich das nunmal...

Schicke am besten mal eine PN an mYthos oder klarsoweit.
Die können dir bestimmt noch was hilfreiches zum Thema sagen.

Gruß Björn

23.11.2006, 20:56

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Bei der Normalparabel befindet sich die flachste Stelle mit Sicherheit an der Scheitelstelle...da sind wir uns glaub ich einig smile

Mit Sicherheit Big Laugh

Ich denke, dass es nicht gut ist PN's zu schicken... daher würde ich es gerne hier beantwortet haben.
Vielleicht muss ich auch als Ergebnis schreiben, dass die steilste Stelle bei "x gegen Betrag von unendlich" ist... Aber raten nützt mir auch nicht weiter...

Hoffentlich antwortet noch jemand anderes Lehrer

24.11.2006, 10:50

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(Ich häng mich hier nur rein wegen expliziter PN-Aufforderung...)

Zunächst mal muss geklärt werden, ob die Umkehrfunktion überhaupt existiert. Dazu betrachtet man

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 3x^2+6x+5 = 3(x+1)^2+2 > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}\qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

also ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend und somit umkehrbar. Gut.

Nächster Punkt: Die Ableitung der Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ ist gleich

$\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(y) \end{eqnarray*}$ im vorliegenden Fall stets positiv und damit

* minimal, wenn $\begin{eqnarray*} f'(f^{-1}(y)) \end{eqnarray*}$ maximal ist,
* maximal, wenn $\begin{eqnarray*} f'(f^{-1}(y)) \end{eqnarray*}$ minimal ist.

Für den ersten Punkt gibt es auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ keine Stelle, da die Ableitung $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ unbeschränkt wächst und somit $\begin{eqnarray*} \inf\limits_{y\in\mathbb{R}} ~ (f^{-1})'(y) = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, ohne dass dieses Infimum erreicht wird, d.h., es gibt kein Minimum. Für den zweiten Punkt ergibt sich natürlich gemäß (*) ganz klar die Maximumstelle

$\begin{eqnarray*} y^* = f(-1) = -4 \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} (f^{-1})' \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Und ja, Bjoern hat recht: $\begin{eqnarray*} (-1,-4) \end{eqnarray*}$ ist Wendepunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , was gleichbedeutend damit ist, dass $\begin{eqnarray*} (-4,-1) \end{eqnarray*}$ Wendepunkt von $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ ist.

24.11.2006, 14:31

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Wow Danke Arthur und vor allem, dass du geantwortet hast smile

Aber die hauptsächliche Frage konnte ich hier nicht stellen, denn ich es fällt mir einfacher es mit Worten zu beschreiben.
Björn hatte auch recht mit seinem Ergebnis, aber auch meine Aussage war richtig.
Nur das Problem bei dem ganzen war, dass ich dachte, dass wir auch die flachste Stelle der Umkehrfunktion(steilste von f) finden sollen, wobei das nicht geht.
Daher brauchten wir nur die flachste Stelle des Graphen f und somit die steilste der Umkehrfunktion(wie du, Arthur, schon gezeigt hast)

Mein sehr hochqualifizierter und bester Lehrer, den ich je hatte, hat es mir heute in einem Satz beantwortet und der Ahaa-Effekt war da

Aber vielen Dank an eure Unterstützung!! Prost

Gruß Pg

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