Berechnung von Kreisabschnitten

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Chesspower Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung von Kreisabschnitten
Hallo liebe Community ich bin neu hier. Wink

Ich habe hier eine Übungsaufgabe bei der ich mir nicht sicher bin, ob sie richtig gelöst wurde. Zudem komme ich nicht darauf, wie man beim Kreisabschnitt das s (Kreissehne) ausrechnet. Wäre nett, wenn mir jemand in der Community ein paar Tipps geben kann. Die Aufgabe gliedert sich in 3 Aufgabenstellungen aber ich habe erst mal nur die Zwei (a und b) gemacht siehe Bild.

MfG

Chesspower
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung von Kreisabschnitten
Um die Sehne zu berechnen, betrachte das Dreieck, das von der Sehne und zwei Radien gebildet wird. Es ist gleichschenkelig, die Höhe auf die Basis (= Sehne) teilt es in zwei konruente rechtwinklige.
Welche Bestimmungsstücke davon sind bekannt?
Chesspower Auf diesen Beitrag antworten »

Alfa und der Radius sind bekannt. Ich bin mir sicher, dass man aus diesen beiden Werten die Sehne ausrechnen kann, aber in meinen Formelsammlungen finde ich mich nicht zurecht.

Bei einer Formel komme ich zu einer größeren Sehnenlänge, als die Bogenlänge ist. Wäre aber unlogisch, da die Bogenlänge meiner Meinung nach ganz klar größer sein muss als die Sehnenlänge.

Eine Höhe von Mittelpunkt zur Sehne ist nicht bekannt, nur von Sehne zum Bogenmittelscheitel.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Die Höhe muss ja nicht bekannt sein, aber bleiben wir bei den Seiten:
Es ist doch leicht zu sehen, dass die Hypotenuse gleich dem Radius ist.

Jetzt zu den Winkeln: Nachdem ein gleichschenkeliges Dreieck symmetrisch bezüglich der Höhe auf die Basis ist, wird der Winkel durch die Höhe halbiert.
Ein Winkel ist , damit steht auch der dritte Winkel fest (Winkelsummensatz im Dreieck).

Aber schon mit alpha/2 könntest Du die Winkelsätze im rechtwinkligen Dreieck anwenden. Der Sinus eines Winkels ist die Gegenkathete durch . . . .?
Chesspower Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jetzt zu den Winkeln: Nachdem ein gleichschenkeliges Dreieck symmetrisch bezüglich der Höhe auf die Basis ist, wird der Winkel durch die Höhe halbiert.
Ein Winkel ist , damit steht auch der dritte Winkel fest (Winkelsummensatz im Dreieck).


Das heißt: Von Bogenmittelpunkt zur Sehne beträgt die Höhe alfa/2 also 25,632 m?

Zitat:
Original von GualtieroAber schon mit alpha/2 könntest Du die Winkelsätze im rechtwinkligen Dreieck anwenden. Der Sinus eines Winkels ist die Gegenkathete durch . . . .?



Ankathete? Ich bin ehrlich ich weis es nicht, da ich mit Winkelfunktionen, Sinus, Tangens etc. nie gearbeitet habe.

Sind meine genannten Flächenberechnungen eigentlich korrekt?
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das heißt: Von Bogenmittelpunkt zur Sehne beträgt die Höhe alfa/2 also 25,632 m?

Das ist erstens nicht richtig, zweitens ist die Segmenthöhe in der Skizze angegeben (= 3,992), und drittens benötigen wir vorerst weder diese Höhe noch den Bogen.


Die Fläche des Kreisausschnitts ist richtig, die des Segments nicht.

Dass Du Grundkenntnisse in Winkelfunktionen hast, habe ich schon angenommen, denn ohne die wirst Du die Aufgabe nicht lösen können, es denn, über Integralrechnung, aber die Darstellung der Aufgabe deutet schon auf den geometrischen Weg.

Kurz und gut, in einem rechtwinkligen Dreieck gilt z. B. dies: der Sinus eines Winkels ist die Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse.

Der Winkel ist alpha/2.
Die Gegenkathete ist diejenige Kathete, die dem Winkel gegenüberliegt; ist hier die halbe Sehne (s/2).
Die Hypotenuse ist gleich dem Radius = 50.

Du hast also das zu lösen:

Mit der halben Sehne, dem Radius und Pythagoras kannst Du dann die Höhe berechnen und damit die Fläche des gleichschenkeligen Dreiecks.

Dann hast Du bis jetzt die Kreisausschnitsfläche und die Dreiecksfläche.

Wie könnte man damit die Segmentsfläche berechnen?
 
 
Chesspower Auf diesen Beitrag antworten »

Habe nochmals alles berechnet und Formel aus einem Formelheft verwendet.
Bei der ersten Formel bin ich mir unsicher, da der Wert 43,26 m für die Sehnenlänge ergab. Diese Rechnung kann aber nicht stimmen, da meiner Meinung nach die Sehnenlänge nie länger sein dürfte, als die Bogenlänge die 40,26 m beträgt.

Deshalb habe ich noch eine zweite Formel verwendet aus einen Formelheft um die Sehnenlänge zu berechnen (siehe Bild). Dort bekam ich den Wert 39,15 m raus für die Sehnenlänge. Zum Abschluss habe ich dann mit 39,15 als Sehnenlänge die Fläche des Kreisabschnittes berechnet, ob das Ergebnis nun stimmt, ich weis es nicht.

Die eingefügten Bilder sind in der Vorschau etwas verschwommen, jedoch beim klick auf die Bilder werden sie in vollen Details angezeigt.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Erstes Bild
Formel und Rechengang ist richtig, Du hast aber im Winkelmodus "Altgrad" gerechnet. Sorry, ich habe das auch in meiner obigen Formel nicht richtig dargestellt.

So ist es richtig:

Auch die Formel für die Sehne stimmt, ist nur die Anwendung des Pythagoras. Das Ergebnis ist etwas ungenau, weil auch die Segmenthöhe ungenau angegeben ist.
Sehne ~ 39,18
Segmenthöhe ~ 3,9982

Zweites Bild
Formeln und Rechenweg richtig. Ich habe kleine Abweichungen durch genauere Werte einzelner Kreisstücke.
Bogen ~ 40,2627

Noch eine Anmerkung: unser Anliegen ist es in erster Linie, das Verständnis für den Rechenweg einer Aufgabe gemeinsam mit dem Fragenden zu erarbeiten. Also wenn Du eine Frage dazu noch hast, bitte gerne.
Chesspower Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Hilfe. Ich werde die Aufgabe demnächst noch Mals ausführlich durchgehen. Momentan bereite ich mich auf eine Prüfung vor die in wenigen Tagen stattfindet. Danach werde ich wieder mehr Zeit aufbringen können mich mit der technischen Mathematik auseinanderzusetzen.

Zitat:
Noch eine Anmerkung: unser Anliegen ist es in erster Linie, das Verständnis für den Rechenweg einer Aufgabe gemeinsam mit dem Fragenden zu erarbeiten. Also wenn Du eine Frage dazu noch hast, bitte gerne.


Das kann ich nachvollziehen. Es wäre kein Lernerfolg, wenn man gleich ein Ergebnis geliefert bekommt. Jedoch manchmal gibt es Situationen, wo man eine Lösung sehr schnell braucht, aber das dürfte in meinen Fall nicht unbedingt immer gegeben sein.

Sobald ich weitere Fragen haben sollte, melde ich mich wieder.
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