Grenzwert einer Folge ist 1/0

16.01.2011, 11:23

jockijo

Grenzwert einer Folge ist 1/0

Hallo,
wir nehmen gerade Folgen durch und komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{\begin{pmatrix} n \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{n} }{(-1)^{n}\cdot \sqrt{n^{5} } } \end{eqnarray*}$

mit n \in \mathbb N überprüfe man die Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Meine Lösung bisher:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{\frac{n!}{3!(n-3)!\cdot n} }{(-1)^{n}\cdot \sqrt{n^{5} } } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = a_{n} = \frac{\frac{(n-1)(n-2)}{6} }{(-1)^{n}\cdot \sqrt{n^{5} } } \end{eqnarray*}$

Dann habe ich den höchsten Exponenten gesucht also 2 und hab den ausgeklammert:
$\begin{eqnarray*} = \frac{n^{2}-3n+2 }{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n^{5} }\cdot 6 } \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{1-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^{2} } }{(-1)^{n}(\frac{1}{n^{2} })(\frac{1}{n^{1,5} })(\frac{6}{n^{2} } ) } = \frac{1-0+0}{\pm 1\cdot 0\cdot 0\cdot 0} = \frac{1}{0} = \infty \end{eqnarray*}$

In der Lösung kommt irgendwie Null raus, also eine Nullfolge, aber leider steht dort nicht der Rechenweg und ich komm einfach nicht drauf, was ich falsch gemacht habe unglücklich

16.01.2011, 11:34

corvus

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RE: Grenzwert einer Folge ist 1/0
.

$\begin{eqnarray*} = \frac{n^{2}-3n+2 }{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n^{5} }\cdot 6 } \end{eqnarray*}$

Zitat:

kommt irgendwie Null raus, also eine Nullfolge, aber leider steht dort nicht ..

.. dass der höchste Exponent von n
- im Zähler 2 ist
- im Nenner 5/2=2,5 ist
........................................ smile

16.01.2011, 12:30

jockijo

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Hoppla, wie peinlich^^
kommt dann folgendes raus?:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{2,5}(n^{-0,5}-\frac{3}{n^{1,5} }+\frac{2}{n^{2,5} } ) }{n^{2,5}(\frac{(-1)^{n} }{n^{2,5} }\cdot \frac{6}{n^{2,5} }) } \Rightarrow \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{1}{\sqrt{n} }-\frac{3}{\sqrt{n^{3} } } +\frac{2}{\sqrt{n^{5} } } }{1\cdot (-1)^{n}\cdot \frac{1}{\sqrt{n^{5} } }\cdot \frac{6}{\sqrt{n^{5} } } } = \frac{0-0+0}{1(\pm 1)\cdot 0\cdot 0} = \frac{0}{0} = 0 \Rightarrow a_{n} hat Grenzwert 0 \Rightarrow a_{n} ist Nullfolge \end{eqnarray*}$

Stimmen so die Rechenschritte?

16.01.2011, 13:57

japr0

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EDIT: vergiss was hier stand, war leider quatsch unglücklich

16.01.2011, 14:07

jockijo

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Hat vielleicht noch jemand Ahnung, ob ich das so richtig gemacht hab??

16.01.2011, 14:11

japr0

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du kannst glaube ich aus 0/0 keine Aussage machen.
Aber wenn du n^2 ausklammerst, hast du oben 1 und unten noch ein Wurzel n stehen. Das läuft dann im Nenner gegen unendlich und du hast deine Nullfolge.

16.01.2011, 16:04

jockijo

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Aber woher hätte ich wissen sollen, dass ich n^2 ausklammern hätte sollen? Unser Prof meinte, dass wir immer den höchsten Exponenten ausklammern sollen. Gäbe es da keine Alternative, wie ich das mit dem höchsten Exponenten ausklammern hätte machen können? Bin grad voll verwirrt^^

16.01.2011, 16:47

corvus

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Zitat:

Original von jockijo

Aber woher hätte ich wissen sollen, dass ich n^2 ausklammern hätte sollen?

Unser Prof meinte, dass wir immer den höchsten Exponenten ausklammern sollen.

Bin grad voll ..

................. smile

$\begin{eqnarray*} = \frac{n^{2}-3n+2 }{(-1)^{n} \cdot \sqrt{n^{5} }\cdot 6 } \end{eqnarray*}$

na ja im Zähler ist halt 2 von Weitem sichtbar der höchste Exponent Wink

also:

$\begin{eqnarray*} = \frac{n^{2}\cdot(1-\frac{3}{n}+ \frac{2}{n^2} ) }{ n^2 \cdot ( \sqrt{n }\cdot 6 \cdot (-1)^{n}) } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left[ \frac{1-\frac{3}{n}+ \frac{2}{n^2}}{ 6 \cdot (-1)^{n} }\right] \cdot \frac{1}{\sqrt{n }} \end{eqnarray*}$

und dreimal darfst du hinschauen um herauszusehen, welcher Grenzwert
sich nun wohl ergibt ...
.

16.01.2011, 17:42

jockijo

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also soll ich immer im Zähler schauen wo der höchste Exponent steht und den nenner mal net beachten?

16.01.2011, 18:04

corvus

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Zitat:

Original von jockijo
also soll ich immer im Zähler schauen wo der höchste Exponent steht
und den nenner mal net beachten?

.......................... nein - Teufel

.. liest du denn überhaupt, was man dir antwortert ?

GLEICH ZU BEGINN habe ich dir bereits notiert,
dass du sowohl im Zähler, als auch im Nenner den
höchsten Exponenten ermitteln sollst.. siehe:

Zitat:

.. dass der höchste Exponent von n
- im Zähler 2 ist
- im Nenner 5/2=2,5 ist

und anschliessend hättest du halt damit beginnen sollen,
den Versuch zu machen, selber (weiter)zu denken..
.

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