"Aussehen" endlicher Körper

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jol2040 Auf diesen Beitrag antworten »
"Aussehen" endlicher Körper
Hallo,
ich muss eine Aussage für endliche Körper zeigen (das die Anzahl der Elemente Potenz einer Primzahl ist). Nun lässt sich das ja leicht erreichen, wenn man weiß, dass die in Frage kommenden Körper von der Form
(i) Z/pZ mit p prim und Z den ganzen Zahlen oder (mit genau p Elementen)
(ii) der Restklassenkörper im Polynomring eines Körpers von (i) mit einem irreduziblen Polynom (Fp[X]/(P), P prim) sind.
Das wurde in der Vorlesung glaub ich nicht gezeigt und wenn ich de.wikipedia.org/wiki/Endliche_Körper richtig verstehe stimmt das ja auch so. Die Frage ist halt, wie kann man das zeigen?
vielen dank für Hinweise!





Edit (Dual Space): Link eingerichtet.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: "Aussehen" endlicher Körper
Die Frage ist erstmal, welche Sätze über Körpertheorie kennst du bereits ? Weißt du was die Charakteristik eines Körpers bzw. ein Primkörper usw. ist ? Damit könntest du schon was anfangen.

Grüße Abakus smile
jol2040 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, also Charakteristik und Primkörper (aber noch keine Galoisgruppen) hab ich mittlerweile in der Vorlesung gehabt - geht es denn auch ohne?
- der Kern von nem Ringhomo. ist ein echtes Ideal
- A/I (A Ring mit Ideal I) ist ein Ring, ein Körper, wenn I ein maximales Ideal ist
( sonst wüsste man ja auch nicht ohne weiteres das Fp ein Körper ist)
- Körperhomo. sind injektiv
- K[X] ist ein Hauptidealring, dh er enthält Elemente der Form (P) mit P aus K[X]
- Euklidischer Algorithmus, Minimalpolynome, K[X]/(P) ist ein Körper, wenn P irreduzibel
- Sätze über Körpererweiterungen (a alg über K <=> K[a] endlichdimensional<=> K(a)/K endlich <=> K[a]=K(a), dann gilt [K(a):K]=degMin(a), Transitivität)
-Existenz eines algebraischen Erweiterungskörpers, Zornsches Lemma.
Also ist ein bisschen schwer, alles aufzuschreiben (zumal man ja evtl. auch noch Aussagen aus der linearen Algebra in Erwägung ziehen muss?), wenn ich nicht weiß, worauf es hinausführt. Irgendwie weiß ich halt nicht wie ich das nur daraus, dass es endliche viele Elemente gibt, entwickln soll.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es mit folgender Argumentation:

1. die Charakteristik eines endlichen Körpers ist eine Primzahl p

2. der zugehörige Primkörper ist isomorph zu

3. jeder endliche Körper ist eine endliche Erweiterung über seinem Primkörper und hat demnach genau -viele Elemente.

Grüße Abakus smile
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist, dass wir Charakteristik und Primkörper erst eingeführt haben, nachdem wir diese Aufgabe abgeben mussten...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sunwater
Das Problem ist, dass wir Charakteristik und Primkörper erst eingeführt haben, nachdem wir diese Aufgabe abgeben mussten...


Ansonsten wäre ja auch wenig zu zeigen mit diesen Sätzen (also wenn man die bereits hätte). Man könnte die 3 Sachen schrittweise in der Lösung entwickeln; aber möglich, dass es noch einfacher geht verwirrt .

Grüße Abakus smile
 
 
Sunwater Auf diesen Beitrag antworten »

also es läuft wirklich fast so ab...

man muss halt einen Teilkörper suchen und erkennen, dass man den schon kennt...
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