Konvergenz einer Zahlenfolge

16.01.2011, 14:19	Leckermäulchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Zahlenfolge Hallo Zusammen, bin jetzt bei dieser Aufgabe angekommen und mir fehlt jegliche Vorstellung, wie ich sie angehen soll. Und zwar handelt es sich um eine Zahlenfolge $\begin{eqnarray} \left(a_{n} \right)_{1}^{\infty } \end{eqnarray}$ und es gelte die Bedingung: $\begin{eqnarray} a_{n+m}\leq a_{m}+a_{n} , m,n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Und nun soll gezeigt werden, dass die Folge $\begin{eqnarray} \left(\frac{a_{n} }{n} \right)_{1}^{\infty } \end{eqnarray}$ entweder konvergiert oder gegen $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ bestimmt divergiert. Kann mir jemand zum Ansatz verhelfen? Kann mir die Folge nicht wirklich vorstellen. LG Leckermäulchen
16.01.2011, 19:37	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige doch zunächst mal induktiv: $\begin{eqnarray} a_{n} \leq nc \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c:= a_1 \end{eqnarray}$ .
17.01.2011, 00:23	Leckermäulchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das habe ich, denke ich mal hingekriegt: Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} n= 1: a_{1}\leq 1c <=>a_{1}\leq a_{1} \end{eqnarray}$ Induktionsvorr: $\begin{eqnarray} a_{n} \leq nc \end{eqnarray}$ Induktionsbeh: $\begin{eqnarray} a_{n+1} \leq (n+1)c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1} \leq a_{n} +a_{1}\leq nc+a_{1}= c(n+1) \end{eqnarray}$ Nur weiss ich leider immer noch nicht, wie das mir zur Lösung der Aufgabe verhelfen soll...
17.01.2011, 07:59	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du nun durch n teilst, folgt ja immerhin schonmal die Beschränktheit nach oben. Jetzt könntest du annehmen, dass $\begin{eqnarray} \frac{a_n}{n} \end{eqnarray}$ nicht gegen -unendlich divergiert, also mind. einen reellwertigen Häufungspunkt hat. Und dann folgern, dass dieser Häufungspunkt auch der Grenzwert ist.

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