betragsungleichung

16.01.2011, 14:52

babba

betragsungleichung

Ich habe Probleme eine Betragsungleichung zu lösen.

$\begin{eqnarray*} |3x-4|\leq|x+2| \end{eqnarray*}$
Ich fange an die Beträge in Fälle einzuordnen:

Fall 1:
$\begin{eqnarray*} 3x-4 \geq 0\ und\ x+2 \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} also\ x \geq 4/3\ und\ x \geq -2 \end{eqnarray*}$
daraus folgt x >= 4/3 soll diese Ungleichung erfüllen:
$\begin{eqnarray*} 3x-4 \leq x+2 <=> 0 \leq -2x +6 \end{eqnarray*}$
Das ist im ganzen Bereich $\begin{eqnarray*} x \geq 4/3 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Fall 2:
$\begin{eqnarray*} 3x-4 \geq 0\ und\ x+2 < 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} also\ x \geq 4/3\ und\ x < -2 \end{eqnarray*}$
Hier habe ich schon mal ein Problem, weil es keinen Bereich gibt, in dem sich die Anforderungen der beiden Ungleichungen für x überschneiden.

Fall 3:
$\begin{eqnarray*} 3x-4 < 0\ und\ x+2 \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} also\ x < 4/3\ und\ x \geq -2 \end{eqnarray*}$
daraus folgt $\begin{eqnarray*} -2 \leq x < 4/3 \end{eqnarray*}$ für die Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} -(3x-4)\leq x+2 <=> -3x + 4 \leq x+2 <=> 0 \leq 4x-2 \end{eqnarray*}$
Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} 1/2 \leq x < 4/3 \end{eqnarray*}$

Fall 4:
$\begin{eqnarray*} 3x-4 < 0\ und\ x+2 < 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} also\ x < 4/3\ und\ x < -2 \end{eqnarray*}$
daraus folgt $\begin{eqnarray*} x < -2 \end{eqnarray*}$ für die Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} -(3x-4)\leq-(x+2) <=> -3x + 4 \leq -x-2 <=> 0 \leq 2x - 6 \end{eqnarray*}$
Diese Ungleichung ist aber für den genannten x-Bereich x<=2 nie erfüllt

Ich habe die Graphen auch schon geplottet $\begin{eqnarray*} \sqrt{(3x-4)^2}\ und\ \sqrt{(x+2)^2} \end{eqnarray*}$ und der Bereich, in dem zweiteres größer ist, liegt bei 1/2 < x < 3. Also ganz wo anders.

Wo liegen meine Fehler?

17.01.2011, 09:01

klarsoweit

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RE: betragsungleichung

Zitat:

Original von babba
daraus folgt x >= 4/3 soll diese Ungleichung erfüllen:
$\begin{eqnarray*} 3x-4 \leq x+2 <=> 0 \leq -2x +6 \end{eqnarray*}$
Das ist im ganzen Bereich $\begin{eqnarray*} x \geq 4/3 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Das ist leider falsch, was man mit dem Test für x=4 leicht sehen kann. Augenzwinkern

Das Thema ist eher Schulmathe, daher verschoben.

17.01.2011, 16:17

babba

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Ah, dann heißt das für Fall 1, dass der x Bereich [4/3 , 3] .

Ist dann, wenn man die x Intervalle von Fall 1 und 3 zusammenlegt, die Aufgabe richtig gelöst?

17.01.2011, 18:21

klarsoweit

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Ja zu beiden Fragen.

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