Anfangswertproblem mit Picard-Iteration lösen

16.01.2011, 16:54	Hilfesuchender2011	Auf diesen Beitrag antworten »
Anfangswertproblem mit Picard-Iteration lösen Meine Frage: $\begin{eqnarray} 1\leq T\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Gesucht ist eine Funktion $\begin{eqnarray} x:[0,T]\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray}$ , welche der Anfangswertaufgabe $\begin{eqnarray} x''(t)+x(t)=0, x(0)=0, x'(0)=1 \end{eqnarray}$ genügt. 1. Überführen Sie zuerts das Anfangswertproblem in ein System von gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung und 2. bestimmen Sie dann die ersten 4 Iterierten mit der in der Vorlesung genannten Fixpunktiteration. 3. Wie lautet allgemein die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -te Iterierte und 4. was hat sie mit der Reihendarstellung bekannter Funktionen zu tun? 5. Wie lautet die Lösung des Anfangswertproblems und 6. welche Eigenschaften hat sie? Meine Ideen: zu 1 : Hier habe ich irgendwie keine Ahnung, was ich bzw. wie ich es machen soll. zu 2 : Die in der Vorlesung genannte Fixpunktiteration ist die Picard- Iteration. Ist dort aber nicht definiert!!! Nur ein Beispiel mit $\begin{eqnarray} \Phi:[y](t):=y_a+\int\limits_{a}^{t}f(s,y(s))\operatorname{ds} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} y\in C([a,c],K(y,\varepsilon)) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \varepsilon\in\mathbb{R}_{>0} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'=y, f(t,x)=x, y_a:=y(0)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_1(t)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_2(t)=\Phi[y_1](t) = 1+\int_0^ty_1(s)\operatorname{ds}=1+t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_3(t)=\Phi[y_2](t)=1+\int_0^ty_2(s)\operatorname{ds}=1+t+\frac{1}{2}t^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_4(t)=\Phi[y_3](t)=1+\int_0^ty_3(s)\operatorname{ds}=1+t+\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{6}t^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vdots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_m(t)=\sum_{i=0}^{m-1}\frac{1}{i!}t^i\underset{m\rightarrow\infty}{\rightarrow}e^t \end{eqnarray}$ So nun habe ich versucht, diese Beispiel auf die Aufgabenstellung zu übertragen scheitere aber an der zweiten Ableitung. Wenn ich einfach einsetze mit $\begin{eqnarray} x_a=0,f(t,x(t))=x(t) \end{eqnarray}$ komme ich nicht auf die Sinusreihendarstellung $\begin{eqnarray} \sin(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{t^{2k-1}}{(2k-1)!} \end{eqnarray}$ zu 3 : siehe zu 2. zu 4 : Der Grenzwert $\begin{eqnarray} m\rightarrow\infty \end{eqnarray}$ der m-ten Iterierten ist eine Reihendarstellung einer bekannten Funktion (Hier:Sinus). zu 5 : Die Lösung müsste $\begin{eqnarray} x:[0,T]\rightarrow\mathbb{R}, t\mapsto\sin(t) \end{eqnarray}$ sein. Denn $\begin{eqnarray} \sin(0)=0, \sin'(0)=\cos(0)=1,<br /> \sin''(t)+\sin(t)=\cos'(t)+\sin(t)=-\sin(t)+\sin(t)=0 \end{eqnarray}$ zu 6 : keine Ahnung, was ich da hinschreiben soll. Der Sinus ist 2-Pi-periodisch^^

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