Isomorphie zwischen Körpern

16.01.2011, 17:32	Tobiass	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie zwischen Körpern Meine Frage: Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray} m,n\in\mathbb Z \setminus{0} \end{eqnarray}$ die beiden Körper $\begin{eqnarray} \mathbb Q (\sqrt{m}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Q (\sqrt{n}) \end{eqnarray}$ genau dann isomorph sind, wenn $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{m}{n}}\in\mathbb Q \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Sei $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{m}{n}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}=a\in \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \sqrt{m}=a\sqrt{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{n}=a^{-1}\sqrt{m} \end{eqnarray}$ . Also gilt $\begin{eqnarray} \sqrt{m}\in \mathbb Q(\sqrt{n}) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \sqrt{n}\in \mathbb Q(\sqrt{m}) \end{eqnarray}$ . Damit folgt $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt{m})\cong\mathbb Q(\sqrt{n}) \end{eqnarray}$ . Das müsste doch schonmal stimmen. Bei der anderen Richtung hab ich aber Probleme.
17.01.2011, 11:48	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Isomorphie zwischen Körpern Hallo Tobiass, Du hast doch einen Isomorphismus $\begin{eqnarray} \varphi: \mathbb{Q}(\sqrt m)\to \mathbb{Q}(\sqrt n) \end{eqnarray}$ . Wie kann jetzt $\begin{eqnarray} \varphi(\sqrt m) \end{eqnarray}$ aussehen? Was weißt Du über $\begin{eqnarray} \varphi (\sqrt m)^2 \end{eqnarray}$ ? Gruß, Reksilat.

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