grenzwert und epsilonumgebung

16.01.2011, 18:59

Travit

grenzwert und epsilonumgebung

Hallo zusammen,

ich habe eine Aufgabe bekommen und komme leider nicht soweit.

Hier erstmal die Aufgabe:

Die Folge { $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ }n=1,2,... ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass die Folge monoton wachsend und beschränkt ist. Wieviele Elemente dieser Folge sind nicht in der µ-Umgebung von 1 für µ=2; 1; 0,5; 0,2; 0,1; 0,01; 0,001 ? Machen Sie bitte Zeichnung für µ=2; 1; 0,5; 0,2. Sei µ eine positive Zahl. Ab welchen Index $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ sind alle Elemente der Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ n=1,2,... in der µ-Umgebung von 1? Was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n} \end{eqnarray*}$ ? (Begründen Sie nur mit Hilfe der Definition des Grenzwerts)

(µ = Epsilon (stellt der Editor nicht da ? ))

Meine Ideen:

{ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ }= $\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ <- Daraus lässt sich leicht erkennen, dass die Folge gegen den Grenzwert 1 läuft.

{ $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ }= $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{\infty} \end{eqnarray*}$ <-- somit ist die Folge beschränkt.

$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ <-- monoton wachsend. (?)

Leider weiss ich nicht ob diese aussagen/beweise reichen ?!

Zu der Epsilon-Umgebung:

In der Aufgabenstellung steht "µ-Umgebung von 1", was bedeutet "von 1" ?

Die Epsilon-Umgebung ist der Betrag der Differenz zwischen Folgeglied und Grenzwert.

$\begin{eqnarray*} | a_{n}-g | \leq µ \end{eqnarray*}$

dh. ich muss $\begin{eqnarray*} |\frac{n-1}{n} -g | \leq µ \end{eqnarray*}$ solange den Wert n einsetzen bis ich "theoretisch" die µ-Umgebung schneide ?

zb. µ = 2
n = 3

$\begin{eqnarray*} |\frac{3-1}{3} -1 | \leq 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \subset µ \end{eqnarray*}$

und mit dem Index $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ kann ich dementsprechend nichts anfangen.

Wäre ebenfalls nett wenn jemand mir einen Tipp gäbe, wie ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n} \end{eqnarray*}$ mit der Definition des Grenzwertes erhalte?

Ich danke schon mal vorraus.

Mfg
travit

16.01.2011, 19:51

tohuwabou

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: grenzwert und epsilonumgebung

Zitat:

Original von Travit
$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ <-- monoton wachsend. (?)

Leider weiss ich nicht ob diese aussagen/beweise reichen ?!

Wenn du zeigst , dass $\begin{eqnarray*} a_n \le a_{n+1} \end{eqnarray*}$ reicht das. Dazu einfach einsetzten .

$\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n} \le \frac{n+1-1}{n+1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Travit
Zu der Epsilon-Umgebung:

In der Aufgabenstellung steht "µ-Umgebung von 1", was bedeutet "von 1" ?

Eine Umgebung um $\begin{eqnarray*} a_n=1 \end{eqnarray*}$ . Du hast ja schon festgestellt, das $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen 1 konvergiert. Wieviele Folgenglieder liegen dann in einer Umgebung um 1.

Zitat:

Original von Travit
Wäre ebenfalls nett wenn jemand mir einen Tipp gäbe, wie ich $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n} \end{eqnarray*}$ mit der Definition des Grenzwertes erhalte?

Du musst zeigen , dass $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ ex. ein $\begin{eqnarray*} n_0=n_0(\epsilon) \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ,sodass

$\begin{eqnarray*} |a_n-g|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \ge n_0 \end{eqnarray*}$

Dazu allgemein einsetzen

$\begin{eqnarray*} |\frac{n-1}{n}-1|=... \end{eqnarray*}$

16.01.2011, 20:02

Travit

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort.

Ich habe noch eine Frage zur µ-Umgebung von 1.

Nehmen wir mal an das unser:
µ=2

Ist die µ-Umgebung dann von

(-1) bis 3

oder von:

0 bis 2

oder

1 bis 3

?

Ich habe mal gehört das es (1-µ) u. (1+µ) ?!
Dementsprechend wäre meine µ-Umgebung "-1 bis 3"

Ich habe gerade wohl irgendwie ein denkfehler LOL Hammer

16.01.2011, 20:18

tohuwabou

Auf diesen Beitrag antworten »

ja ist richtig.

Man kann das so schreiben.

$\begin{eqnarray*} |a_n -1 | \le 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2 \le a_n-1 \le 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1 \le a_n \le 3 \end{eqnarray*}$

Also im Radius um 1 von 2.

Neue Frage »

Antworten »

grenzwert und epsilonumgebung

Verwandte Themen