Grenzwert eine Folge mit variabler im Exponenten

16.01.2011, 19:43

Arthie

Grenzwert eine Folge mit variabler im Exponenten

Hallo,
ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter.
a) Zeigen Sie, dass die Folge (dn)n>2, wobei dn = (1-(1/n))^n,
monoton wächst. Was ist ihr Grenzwert?

Meine Idee ist, erstmal die Gleichung umzuformen.
Dann habe ich (n-1/n)^n. Die Annahme ist, die Folge ist monoton wachsend, also:
(n-1/n)^n<(n/n+1)^n+1
Nur behindert mich der Exponent und ich weiß nicht genau wie ich vorgehen soll.
Vollständige Induktion wollte ich verwenden, dabei störe ich mich immernoch am Exponenten.
Herausgefunden habe ich, dass die Folge immer positiv und kleiner als 1 ist... Das hat mir aber auch nicht unbedingt geholfen...

16.01.2011, 19:59

hanz198885

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RE: Grenzwert eine Folge mit variabler im Exponenten
ich glaube man muss l'hospital anwenden, also ableiten

16.01.2011, 20:01

lgrizu

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RE: Grenzwert eine Folge mit variabler im Exponenten
Benutze bitte latex.

Zitat:

Original von Arthie
a) Zeigen Sie, dass die Folge (dn)n>2, wobei dn = (1-(1/n))^n,

Hier habe ich noch vermutet, dass es sich um die Folge $\begin{eqnarray*} d_n= \left( 1-\frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ handelt.

Zitat:

Original von Arthie

(n-1/n)^n<(n/n+1)^n+1

Und hier war ich mir dessen unsicher, denn hier hast du offenkundig die Folge $\begin{eqnarray*} d_n=\left( \frac{n-1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ benutzt, und da hast du keine Klammern gesetzt, weshalb da auch ohne weiteres stehen könnte $\begin{eqnarray*} \left( n -\frac{1}{n} \right)^n < \left( \frac{n}{n}+1 \right)^{n+1}=2^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Nun schreib die Folge mal richtig hin, damit wir beginnen können, sie auf Konvergenz zu untersuchen.

16.01.2011, 20:07

Arthie

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Die Folge heißt
dn:= $\begin{eqnarray*} (1-(1/n))^n \end{eqnarray*}$
das $\begin{eqnarray*} ((n-1)/n)^n \end{eqnarray*}$ ist doch nur eine Umformung der Folge. Ich dachte damit wäre es vielleicht leichter. Es geht erstmal um die Monotonie der Folge. Das war nur ein Tippfehler im Topic. Der Grenzwert ist danach gefragt (hier habe ich mit der Bernoulli Ungleichung raus das der Wert immer größer als 0 ist, das bringt mir aber nicht soviel, oder?)
Und L'Hopital haben wir noch nicht gehabt.

16.01.2011, 20:18

lgrizu

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l'Hospital ist auch Blödsinn.

Sicherlich ist richtig, sie ist immer >=0, das Hilft aber nur, wenn sie zusätzlich monoton fallend ist, dann folgt die Konvergenz (monoton fallend und nach unten beschränkt).

Man kann aber recht schnell sehen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n-1}{n}=1 \end{eqnarray*}$ ist, und mit $\begin{eqnarray*} 1^n=1 \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert eigentlich klar.

16.01.2011, 20:23

Arthie

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Ok
Der Grenzwert ist also 1, Wolfram Alpha sagt aber was anderes. Dort ist der Grenzwert 1/e
und wenn ich Dort sehr hohe Zahlen einsetze, bleibt die Zahl ungefähr bei 0,36xxxx stehen.
Und wie können wir die Monotonie beweisen?

16.01.2011, 22:32

lgrizu

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Ist auch richtig, ich hab mich voll vertan, sorry.....

Der Grenzwert ist nicht 1......

Wir können, um Konvergenz zu zeigen zeigen, dass die Folge monoton wachsend ist, dazu kann man benutzen:

$\begin{eqnarray*} a_n \leq a_{n+1} \Rightarrow \frac{a_n}{a_{n+1}} \leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Um zu zeigen, dass die Folge nach oben beschränkt ist kann man einen Induktionsbeweis benutzen mit der Vorraussetzung $\begin{eqnarray*} a_n<1 \end{eqnarray*}$ und dem Anfang für n=2.

Der Grenzwert ergibt sich dann durch die Definition von e: $\begin{eqnarray*} e=\lim_{n \to \infty}\left( 1+ \frac{1}{n} \right)^n \Rightarrow \frac{1}{e} = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{n+1} \right)^n \end{eqnarray*}$ .

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