Linienintegral mit Vektorfeld

23.11.2006, 20:37	inf1nity	Auf diesen Beitrag antworten »
Linienintegral mit Vektorfeld Hallo alle zusammen. Ich habe hier eine Aufgabe zu lösen, bei der ich mir irgendwie nicht helfen kann. Normal ist das alles kein Problem, dann setze ich mit t ein (x,y,z sind ja abhängig von t). Diesesmal sieht es so aus: Vektorfeld $\begin{eqnarray} A:=\left[ \begin {array}{c} 2\,z\\\noalign{\medskip}{x}^{2}-{y}^{2}\\\noalign{\medskip} 3\,y\end {array} \right] \end{eqnarray}$ Dies über folgende gerade Wegstücke: von $\begin{eqnarray} (0,0,1) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} (2,0,1) \end{eqnarray}$ , danach nach $\begin{eqnarray} (0,1,1) \end{eqnarray}$ und von dort nach $\begin{eqnarray} (0,0,1) \end{eqnarray}$ . Würde mich freuen, wenn ihr mir mal kurz helfen könntet. Als Lösung kommt folgendes raus: $\begin{eqnarray} \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ Dies habe ich mithilfe des Stoke'schen Satzes gerechnet und wurde auch durch Maple bestätigt. Der normale Weg ist mir wohl verschlossen, denn ich komme nicht dahinter Gruß inf1nity
24.11.2006, 05:41	sqrt(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst einmal musst du die Kurve darstellen, entlang der du integrierst, die Parameterform bietet sich meistens an. Für die erste Strecke wäre das $\begin{eqnarray} C:~\vec{r}(t)=\begin{pmatrix}2t\\0\\1\end{pmatrix},~0\leq t\leq1 \end{eqnarray}$ . Für das Integral gilt dann $\begin{eqnarray} \int_C \vec{A}(\vec{r})\cdot\dd\vec{r} &=& \int_0^1 \vec{A}(\vec{r})\cdot\frac{\dd\vec{r}}{\dd t}~\dd t \\ &=& \int_0^1 \begin{pmatrix}2\\4t^2\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix} \dd t \\ &=& \int_0^1 4~\dd t \\ &=& 4 \end{eqnarray}$ Für die anderen Teilstrecken kannst du es dann genauso machen.
24.11.2006, 14:17	inf1nity	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Hab das Prinzip verstanden. Damit hat sich das dann wohl erledigt. CLOSED.
05.12.2011, 09:19	täsetuchen	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo zusammen, hier habe die gleiche Aufgabe vor mir, die auch inf1nity hatte. nur mit dem unterschied, das meine wegstücke sich um eine zahl unterscheiden "von $\begin{eqnarray} (0,0,1) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} (2,0,0) \end{eqnarray}$ , dann nach $\begin{eqnarray} (0,1,1) \end{eqnarray}$ und von dort wieder nach $\begin{eqnarray} (0,0,1) \end{eqnarray}$ ." ich verstehe nur beim besten willen nicht, was ich tun soll ich habe schon jede menge Bücher gewälzt und mir Definitionen und Beispiele im internet rausgesucht, aber ich versteh es einfach nicht wäre vlt jemand so nett und würde mir das mal für dumme erklären? vielen dank!
05.12.2011, 13:25	DerDepp	Auf diesen Beitrag antworten »
Hossa Um den Weg von $\begin{eqnarray} A=(0,0,1) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} B=(2,0,0) \end{eqnarray}$ zu parametrisieren, kannst du wie folgt vorgehen: Der Vektor von A nach B ist die Differenz der Vektoren: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right) \end{eqnarray}$ Wenn du von Punkt A aus diesen Vektor 1-mal in seiner ganzen Länge entlang läufst, landest du am Punkt B. Also ist der Weg C von A nach B: $\begin{eqnarray} C:\quad \vec a+t\cdot\left(\vec b-\vec a\right)\quad;\quad t\in[0;1] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C:\quad \left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)+t\cdot\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2t\\ 0\\ 1-t\end{array}\right)\quad;\quad t\in[0;1] \end{eqnarray}$ Die anderen Wege kannst du analog parametrisieren...
06.12.2011, 08:39	täsetuchen	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen vielen dank soweit wer lesen kann ist klar im Vorteil hab grad noch entdeckt, dass mein Vektorfeld auch etwas anders aussieht schäm $\begin{eqnarray} A=(2z, 2x^2-y^2,5y) \end{eqnarray}$ sooo.. ich hab mir jetzt alle Wegstücke angeschaut: $\begin{eqnarray} \overrightarrow{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = \left (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ (aus deiner Rechnung) $\begin{eqnarray} C: \left (\begin{array}{c} 2t \\ 0 \\ 1-t \end{array}\right) \end{eqnarray}$ der Rest wäre dann ( $\begin{eqnarray} \overrightarrow{PQ} = \vec{S} , \overrightarrow{SR} = \vec{T} \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \overrightarrow{SR} = \vec{r} - \vec{s} = \left (\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C: \left (\begin{array}{c} 2-2t \\ t \\ -1+2t \end{array}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overrightarrow{TP} = \vec{p} - \vec{t} = \left (\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} C: \left (\begin{array}{c} 2-2t \\ 1-t \\ 2-t \end{array}\right) \end{eqnarray}$ jeweils in den Grenzen $\begin{eqnarray} t \in [0;1] \end{eqnarray}$ Stimmt das soweit? und jetzt?
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