Inj/Surj Funktion

17.01.2011, 11:18

Bierdeckel

Inj/Surj Funktion

Ich soll zeigen, dass eine Funktion injektiv und/oder surjektiv ist.

f: R-->R
f: x -->3x+4

Reicht es wenn ich für die Injektivität zeige, dass sie streng monoton Steigend ist?

Das wäre dann:
$\begin{eqnarray*} \Delta x > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig klein aber positiv.

$\begin{eqnarray*} f(x) < f(x+\Delta x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+4 < 3*(x+\Delta x) + 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<3 * \Delta x \end{eqnarray*}$

Aber wie könnte ich an die Surjektivität rangehen?

17.01.2011, 11:31

system-agent

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Ja, die strenge Monotonie reicht. Aber die hast du hier noch nicht gezeigt. Angenommen die Funktion ist streng monoton steigend, dann muss $\begin{eqnarray*} f(x+\Delta x)-f(x)>0 \end{eqnarray*}$ gelten.

Nun forme $\begin{eqnarray*} f(x+\Delta x)-f(x) \end{eqnarray*}$ solange um bis du siehst, dass es $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ ist. Dann hast du es bewiesen.

Für die Surjektivität:
Sei $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt [also fest]. Zeige, dass es ein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ .
Hier hilft das Lösen einer Gleichung weiter.

17.01.2011, 11:44

Bierdeckel

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Danke schon mal. Inkektivität leuchtet mir ein.
Ich hab hier nicht die Definition verwendet. Ist korrigiert. Augenzwinkern

Und die Surjektivität gilt dann warum?

Weil ich jedes beliebige y auswählen, und damit auf ein x schließen kann?

LG

17.01.2011, 12:22

system-agent

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Zitat:

Original von Bierdeckel
Und die Surjektivität gilt dann warum?

Weil ich jedes beliebige y auswählen, und damit auf ein x schließen kann?

Nach Definition. Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: A \to B \end{eqnarray*}$ heisst surjektiv, wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} b\in B \end{eqnarray*}$ [mindestens] ein $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(a)=b \end{eqnarray*}$ .

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