Formulierung der Frage

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Formulierung der Frage
Meine Frage:
Ich möchte gerne wissen, ob die Fragen 1 und 2 das Gleiche meinen:

1.) Es sei ein Integritätsring, in dem jeder echte Teilring nur endlich viele Elemente besitzt. Zeigen Sie, dass ein Körper ist.

2.) Zeigen Sie: Jeder endliche Integritätsbereich ist ein Körper.



Meine Ideen:
Hintergrund meiner Frage ist, dass auf dem Aufgabenblatt die Frage wie in 1.) formuliert ist, ich aber in einem fremden Skript Formulierung 2.) gefunden habe. Ich würde nun gerne wissen, ob die Fragen das Gleiche meinen und es nur andere Formulierungsweisen sind.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Frage ist potentiell stärker, ich weiß allerdings nicht ob es solche Ringe gibt die nicht endlich sind.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, dass die beiden Aufgabenstellungen identisch sind, nachdem mir Folgendes erläutert wurde:


1. Ist R eine endliche Menge, so ist natürlich auch jede echte Teilmenge von R endlich.

2. Ist R eine Menge mit der Eigenschaft, dass jede echte Teilmenge von R endlich ist, so ist natürlich auch R endlich.

Dazu sei und . Dann ist M eine echte Teilmenge von R, also nach Vor. endlich. Dann ist auch



endlich.
Math1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010

Dazu sei und . Dann ist M eine echte Teilmenge von R, also nach Vor. endlich.
Die Vorraussetzung bezieht sich aber nur auf Teilringe, M ist aber "nur" eine Teilmenge und nicht unbedingt ein Teilring.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt wohl.

Naja, vielleicht sollte ich mich einfach mal an die Aufgabe selbst machen, anstatt darüber nachzudenken, ob man sie auch anders formulieren kann.


Ich muss ja zeigen, dass R ein Körper ist.

Ein Körper ist ja nach Definition ein kommutativer Schiefkörper.
Ein Schiefkörper wiederum ist ein Ring mit Einselement, wenn jedes invertierbar ist.

Ich muss also zeigen:
1.) R ist ein Schiefkörper.
2.) R ist kommutativer Schiefkörper.


zu 1.)

Also ein Einselement hat R ja schonmal, da R ja ein Integritätsring, also ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Einselement ist.

Noch zu zeigen ist, dass jedes invertierbar ist, d.h. es soll ein existieren, sodass .


Ich würde sagen, man betrachtet mal die Abbildung

, also die Linksmultiplikation mit a für ein .

Diese Abbildung ist injektiv.
Begründung:
Man nehme sich mit , also , also . Nun ist ja R nullteilerfrei und . Dann bleibt nur übrig, dass ist. Daraus folgt ja, dass und damit die Injektivität.

Nun ist es ja so, dass eine injektive Abbildung von einer endlichen Menge auf sich selbst auch surjektiv ist. Demnach wäre doch eine solche Abbildung für die echten Teilringe, die hier ja alle endlich sein sollen, auch surjektiv.

Ich komme ab hier nicht gut weiter.

Für die echten Teilringe hat dann ja das Einselement genau ein Urbild b unter f.
Also f(b)=xb=1. Dann ist b das multiplikativ Inverse zu x.

Aber ich habe ja jetzt nur gezeigt, dass die echten Teilringe ein multiplikatiov Inverses haben. Was ist aber mit dem ganzen Ring R?

[Eine Idee: Ist nicht der Ring R dann die Vereinigung der echten Teilringe und da ja jeder einzelne echte Teilring die Eigenschaft hat, dann auch der ganze Ring R?]


Und zu 2.)

R ist ja nach Voraussetzung kommutativ.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Entweder f ist surjektiv, dann ist a invertierbar, oder f ist nicht surjektiv, dann ist das Bild ein echter Teilring, also endlich.

Im zweiten Fall kannst du die Aufgabe 2.) von oben untersuchen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, kannst du das nochmal erläutern, das habe ich nicht ganz verstanden.

Wäre sehr nett!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt auch nicht ganz, f ist ja kein Ringhom.

Versuch einmal folgendes:
Annahme a ist nicht invertierbar, was gilt dann für das Ringerzeugnis <a>?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuche gleich mal Deine Idee umzusetzen, danke dafür.

Aber was ich noch nicht ganz rauslesen konnte: Bis wohin stimmt meine Lösung denn bis jetzt oder stimmt gar nichts?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt praktisch alles, bringt aber meiner Meinung nach nichts Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, bringt nichts?

Mit anderen Worten: Ich habe etwas gezeigt, das ich gar nicht zeigen soll?...


Das schockt mich ein bisschen, ich dachte, ich hätte jetzt nur eine Kleinigkeit vergessen oder so...
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann zu Deiner Idee:

Angenommen, a ist nicht invertierbar.

Und jetzt soll etwas folgen für <a>?

<a> .. das hast du "Ringerzeugnis" genannt.. aber woher weiß man denn, dass der Ring von einem Element erzeugt wird?... verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss doch nicht von einem Element erzeugt werden, wir betrachten den kleinsten Teilring der a enthält. Dieser wird mit <a> bezeichnet.

Jetzt unterscheide eben die Fälle dass dieser endlich oder unendlich viele Elemente hat.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe da noch eine Zwischenfrage.

Ist <a> so definiert:


und S Teilring von R?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

oder , sonst macht das syntaktisch keinen Sinn.

Aber ja.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würde ich sagen:

Im Fall, dass <a> endlich ist, so sind ja die enthaltenen Elemente von der Form und dann ist irgendwann für ein . Also gilt doch und damit ist x invertierbar.

Für den unendlichen Fall weiß ich grad noch nicht.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Jo ein bisschen Feinschliff braucht die Argumentation aber das ist die Idee.

Welche Teilringe sind denn unendlich groß`?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Feinschliff...

Wie würde dieser Feinschliff denn aussehen?

-----------------------------------------------------------------------

Also, so schwer kann das doch nicht sein!!

1. Fall: <a> ist endlich.

<a> ist der kleinste Teilring, der a enthält.

Da doch aber R Integritätsring ist, kann man doch schreiben . Wenn also a in <a> enthalten ist, dann also und kann man das nicht umschreiben zu ?

2. Fall

<a> ist unendlich.

Dann muss doch <a>=R sein oder (denn die echten Teilmengen sollen ja alle endlich sein). Dann ist aber das Einselement enthalten in a, weil R Integritäötsring ist und eigentlich würd ich jetzt wieder genauso argumentieren wie unter dem 1. Fall.

Ach, irgendwas stimmt doch da wieder nicht.
[Ich fange an, diese Aufgabe zu hassen...]
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte wirklich nicht nerven, aber die Aufgabe möchte ich sehr gerne mal abschließen.

Kann noch jemand helfen?.. Danke!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die Argumentation im 1. Fall war vorhin besser, ich habe bloß die ungenaue Schreibweise bemängelt. Wo kommt beispielsweise ein x jetzt her?

Wenn <a>=R gilt, so ist a invertierbar.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, die Schreibweise im 1. Fall war ungenau.
Denn ich habe ja einfach angenommen, dass <a> von einem Element erzeugt würde, das muss ja aber nicht der Fall sein: Der kleinste Unterring, der a enthält, muss ja nicht zwangsläufig nur von einem Element erzeugt sein.

Ich weiß aber nicht, wie ich es anders ausdrücken kann.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

traurig

Kann nicht jemand einmal eine etwas ausführlichere Erklärung zu dieser Aufgabe schreiben? Ich nerve ja alle, wenn ich immer in Häppchen frage und nie weiter komme.

Ich stelle die Frage auch gerne nochmal neu, wenn das Bisherige für Dritte nicht mehr überschaubar ist.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Formulierung der Frage
Meine eigentliche Frage ist durch das ganze Hin- und Her nicht mehr richtig zu erkennen, darum stelle ich sie nochmal (ich hoffe, das ist in Ordnung):

Es sei ein Integritätsring, in dem jeder echte Teilring nur endlich viele Elemente besitzt. Zeigen Sie, dass R ein Körper ist.


[Die bisherige Hilfe hat mir leider nicht weiter geholfen.]

Nochmal meine bisherigen Grundüberlegungen:

Ein Körper ist ein kommutativer Schiefkörper.
Ein Schiefkörper ist ein Ring R mit Einselement, sofern jedes invertierbar ist.

Da es sich hier um einen Integritätsring handelt (also um einen nullteilerfreien kommutativen Ring mit Einselement) muss ich "nur noch" diese Invertierbarkeit zeigen.


Aber hier habe ich keine Idee, wie ich das machen kann.
Ich muss leider nochmal nachfragen, ob mir jemand helfen könnte.

EDIT:

Ist es nicht so, dass in einem endlichen Ring alle Elemente entweder Einheiten oder Nullteiler sind? Wären die Elemente der echten Teilmengen (die ja n.V. endlich sind) nicht dann sämtlich Einheiten, weil R ja nullteilerfrei ist?

Was ist aber mit den Elemente, die nicht in den echten Teilmengen liegen?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Formulierung der Frage
Was bedeutet es denn eigentlich, dass R aus echten Teilringen besteht, die endlich sind??
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