Menge, Vektorraum

17.01.2011, 14:24

darkangel

Menge, Vektorraum

Meine Frage:
Ich muss zeigen dass

U:= { $\begin{eqnarray*} \alpha_{1} , \alpha_{2} , \alpha_{3} , \alpha_{4} \end{eqnarray*}$ }

$\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^{4}| \alpha_{1}-\alpha_{3}=\alpha_{2}-\alpha_{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \subset \mathbb R ^{4} \end{eqnarray*}$

ein Untervektorraum ist.

Meine Ideen:
Ich habe echt keinen scimmer wie ich anfangen soll.
Ich weiß das man die 5 Axiome durchgeht aber ich habe keine Vektorn lediglich alphas...

17.01.2011, 14:29

Iorek

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Bitte mach dich mal mit dem Formeleditor vertraut, das ist grässlich zu lesen; $\begin{eqnarray*} U=\left\{\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4\end{pmatrix}~\Bigg|~\alpha_1-\alpha_3=\alpha_2-\alpha_4\right\}\subseteq \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ , das dürftest du meinen, oder?

Du musst nicht alle Axiome überprüfen, für einen [Artikel] Untervektorraum reicht es, drei Kriterien zu überprüfen.

Der Nullvektor muss in der Menge enthalten sein, damit es überhaupt ein Unterraum sein kann (Warum?), zeige also, dass der Nullvektor in deiner Menge enthalten ist.

17.01.2011, 15:04

darkangel

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Also bei mir sind die alphas nciht als vektor geschrieben, sondern so wie ich es aufgeschrieben habe.

Wie finde ich den Nullvektor herraus?
Muss ich die Gleichung umstellen?

17.01.2011, 15:09

Iorek

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Wie sieht denn der Nullvektor des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ aus?

Und ich bin mir ziemlich sicher, dass die $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bei dir als Vektor geschrieben sind, wenn nicht als Spalten- dann als Zeilenvektor.

17.01.2011, 15:30

darkangel

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von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4} \end{eqnarray*}$
wäre der Nullvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

17.01.2011, 15:31

Iorek

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Erfüllt dieser Vektor jetzt die Bedingung um in der Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ zu liegen?

17.01.2011, 15:36

darkangel

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Ja.
Wenn ich den Nullvektor in die Gleichung einsetze erfüllt es die Bedinung.
Aber wie schreibe ich das denn auf?

17.01.2011, 15:38

Iorek

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Wie wäre es ganz simpel $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\in U \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Damit wäre die Menge also nicht leer; jetzt musst du dich um die anderen beiden Kriterien kümmern.

17.01.2011, 15:56

darkangel

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Das war ja einfach Freude

so nun überprüfe ich die Abgeschlossenheit.

Aber wie mache ich das, wenn ich keine Zahlen habe?

17.01.2011, 16:08

Iorek

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Du nimmst dir zwei Elemente $\begin{eqnarray*} x,y\in U \end{eqnarray*}$ , was weißt du dann über die Einträge dieser Vektoren? Was kannst du dann über die Einträge der Summe dieser Vektoren sagen?

17.01.2011, 16:34

darkangel

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Nehme ich jetzt für x,y irgendwelche zahlen und gucke dann ob die Summe mit der Bedinung
$\begin{eqnarray*} \alpha_{1} - \alpha_{3} = \alpha_{2} - \alpha_{4} \end{eqnarray*}$

übereinstimmt?

17.01.2011, 16:36

Iorek

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Nein, du nimmst dir zwei $\begin{eqnarray*} Elemente \end{eqnarray*}$ der Menge, $\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , was kannst du dann über die Einträge dieses Vektors sagen? Was ist mit einem weiteren Element $\begin{eqnarray*} y\in U \end{eqnarray*}$ ? Wie sieht die Summe dieser Vektoren aus? Was kannst du über die Einträge der Summe sagen?

17.01.2011, 18:29

darkangel

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Die Summe der Vektoren x,y wäre:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \\ x_{4} + y_{4} \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$

17.01.2011, 18:30

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Was kannst du über die Einträge der Summe sagen?

In anderen Worten: liegt die Summe wieder in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und wenn ja, warum?

17.01.2011, 18:39

darkangel

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Ja, die Summe liegt wieder in U
weil $\begin{eqnarray*} x,y \in U \end{eqnarray*}$

17.01.2011, 18:52

Iorek

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Nein.

Nur weil $\begin{eqnarray*} x,y\in U \end{eqnarray*}$ ist, liegt die Summe davon doch nicht auch wieder in $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , das sollen wir doch gerade zeigen.

Dazu musst du mit der Definition der Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ arbeiten.

17.01.2011, 18:59

darkangel

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Achso jetzt kommt

$\begin{eqnarray*} \alpha_{1} - \alpha_{3} = \alpha_{2} - \alpha_{4} \end{eqnarray*}$

ins Spiel.

Aber wie mache ich das ? Mit umformen?

17.01.2011, 19:00

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
was kannst du dann über die Einträge dieses Vektors sagen? Was kannst du über die Einträge der Summe sagen?

17.01.2011, 19:05

darkangel

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Ich stehe gerade aufem Schlauch...
Verstehe es nicht

17.01.2011, 20:28

darkangel

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ich habe es mal mit einem Beispiel versucht.

x+y = y+x das ist ok

doch wenn man sich die Bedingung anguckt, kommt es nicht hin
also ist kann man die Abgeschlossenheit bzgl. der de Adittion nicht zeigen.

Stimmt das so?

17.01.2011, 22:51

Iorek

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Wenn man sich welche Bedingung anguckt? Und was kommt nicht hin?

Mit solch schwammigen Begründungen wirst du nicht weit kommen, die Mathematik ist eine exakte Wissenschaft und erfordert auch eine exakte Ausdrucksweise.

Nochmal: wenn du ein Element $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ hast, was kannst du dann aufgrund der Definition von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ über die Einträge dieses Vektors sagen? Schreib das erstmal auf.

18.01.2011, 13:50

darkangel

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Sorry aber ich weiß nicht genau, was du meinst.

U $\begin{eqnarray*} \subset \mathbb R ^{4} \end{eqnarray*}$

18.01.2011, 13:57

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
$\begin{eqnarray*} U=\left\{\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \\ \alpha_4\end{pmatrix}~\Bigg|~\alpha_1-\alpha_3=\alpha_2-\alpha_4\right\}\subseteq \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

Das ist die Menge die wir betrachten. Welche Bedingung muss ein Vektor erfüllen, damit er in dieser Menge enthalten ist?

18.01.2011, 14:17

darkangel

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Die Bedingung:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha_{1} \\ \alpha_{2} \\ \alpha_{3} \\ \alpha_{4} \end{pmatrix} | \alpha_{1} - \alpha_{3} = \alpha_{2} - \alpha_{4}<br /> \end{eqnarray*}$

dieser Vektor muss dann auch Teilmenge von R sein.

18.01.2011, 14:24

Iorek

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Jetzt steht da ein Vektor mit irgendeiner Gleichung und irgendwas von Teilmengen, aber noch immer keine Antwort...

Nochmal: du musst dir eine genauere Arbeits- und Ausdrucksweise aneignen, das ist unbedingt notwendig wenn man ernsthaft Mathematik betreiben will!

Damit wir hier endlich mal ein klein wenig weiterkommen: Wenn wir uns zwei Elemente $\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4\end{pmatrix},y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4\end{pmatrix}\in U \end{eqnarray*}$ nehmen, dann gilt: $\begin{eqnarray*} x_1-x_3=x_2-x_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1-y_3=y_2-y_4 \end{eqnarray*}$ .

1. Warum gilt das?
2. Wie sieht die Summe der Vektoren aus?
3. Was kannst du über die Summe der Vektoren sagen, genauer: erfüllt die Summe auch die Bedingung um in der Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ enthalten zu sein?

18.01.2011, 14:42

darkangel

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Sorry bin im Thema noch nicht ganz drin...

1.Das gilt, weil $\begin{eqnarray*} x,y \in U \end{eqnarray*}$

2. Die Summe wäre folgenderweise x+y= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \ x^{1} + y^{1} \\ x^{2} + y^{2} \\ x^{3} + y^{3} \\ x^{4} + y^{4} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber was mache ich mit $\begin{eqnarray*} x_{1} - x_{3} = x_{2} - x_{4} und <br /> y_{1} - y_{3} = y_{2} - y_{4} \end{eqnarray*}$

18.01.2011, 14:44

Iorek

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Ich nehme an die Exponenten im Vektor sollen als Index geschrieben sein.

$\begin{eqnarray*} x_1-x_3=x_2-x_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_1-y_3=y_2-y_4 \end{eqnarray*}$ brauchst du jetzt um nachzuweisen, dass auch der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3 \\ x_4+y_4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in der Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ enthalten ist.

18.01.2011, 15:10

darkangel

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Muss ich dazu die beiden Gleichungen gleich setzen?

Ich verstehe das irgendwie nicht verwirrt

18.01.2011, 15:11

Iorek

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Welche Bedingung muss denn der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3 \\ x_4+y_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erfüllen, damit er in der Menge $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ enthalten ist?

Was studierst du?

18.01.2011, 15:28

darkangel

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Ich glaube ich habe es nun verstanden.

$\begin{eqnarray*} (x_{1} + y_{1}) - ( x_{3} + y_{3}) = (x_{2} + y_{2}) - (x_{4} + y_{4}) \end{eqnarray*}$

18.01.2011, 15:30

Iorek

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Ja, das muss erfüllt sein.

Ist diese Gleichung erfüllt, warum?

18.01.2011, 15:48

darkangel

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Die Gleichung ist zwar erfüllt aber wie zeige ich das?

Steht am Ende x=y (?)

18.01.2011, 18:50

darkangel

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Wie zeige ich das denn?

18.01.2011, 19:51

Iorek

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Mich würde vor allem interessieren, wie du das gezeigt hast; x=y kommt nämlich definitiv nicht raus. unglücklich

Schreib dir die zu zeigende Gleichung hin, schreib dir dazu die Informationen über die Einträge der Vektoren $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ hin, danach ist das nur ein bischen kreatives Anwenden des Kommu- und Assoziativgesetzes.

18.01.2011, 20:02

darkangel

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Dann habe ich doch auf der einen Seite immer 2x´s und 2y´s
Weiter kann ich da nichts machen...

18.01.2011, 20:05

Iorek

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Zitat:

Original von darkangel
Dann habe ich doch auf der einen Seite immer 2x´s und 2y´s

Und was soll das jetzt bitte heißen? verwirrt

18.01.2011, 20:14

darkangel

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wenn ich das umforme komme ich auf

$\begin{eqnarray*} x_{1} + x_{4} + y_{1} + y_{4} = x_{2} + x_{3} + y_{2} + y_{3} \end{eqnarray*}$

18.01.2011, 20:49

Iorek

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Du hast doch auch noch Informationen aus der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} x,y\in U \end{eqnarray*}$ gilt, das gibt dir genug Informationen um die Aufgabe zu lösen...

Damit der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3 \\ x_4+y_4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in der Menge liegt, muss $\begin{eqnarray*} (x_1+y_1)-(x_3+y_3)=(x_2+y_3)-(x_4+y_4) \end{eqnarray*}$ gelten, nach einer Umformung haben wir $\begin{eqnarray*} x_1-x_3+y_1-y_3=x_2-x_4+y_2-y_4 \end{eqnarray*}$ da stehen, damit ist der Beweis schon fast vollbracht.

18.01.2011, 21:25

darkangel

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Ich habe das so umgeformt, dass nun überall ein + steht.
somit gilt die die Abgeschlossenheit bzgl der Addition.

18.01.2011, 21:30

Iorek

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Warum sollte die Menge denn deshalb abgeschlossen sein? geschockt

Bist du dir eigentlich im klaren darüber, was genau du zeigen sollst? Ist dir die Theorie dahinter klar, sind dir die Begriffe vertraut?

Ich habe dir den Beweis schon fast komplett hingeschrieben, warum habe ich das genau so angeordet, welchen Vorteil bringt das, wie kann ich miene Voraussetzung da einbringen? Eigentlich ist alles was du noch tun musst nur 8 Klammern an die richtige Position zu setzen. unglücklich

Du scheinst extreme Probleme mit diesen Grundlagen der linearen Algebra zu haben, ich empfehle dir dringend die Defizite aufzuarbeiten, ohne dieses Grundwissen wirst du in der Mathematik nicht weiter kommen.

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