Komplexe Zahlen

17.01.2011, 15:35

coco21

Komplexe Zahlen

Meine Frage:
a) Für welche $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C gilt z^{2} = | z | ^{2} \end{eqnarray*}$ ?
b) Bestimmen Sie alle $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C mit z^{4} = 81 \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C mit e^{z} = i \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zu a)
$\begin{eqnarray*} | z | ^{2} = \left(\sqrt{a^{2}+ b^{2} } \right) ^{2} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt:
(a+bi)^2 = (a + b)^2

Wie kann ich daraus jetzt z berechnen?

b) (a+bi)^4 = 81 /Ziehen der 4 vierten Wurzel
(a+bi) = 3

Stimmt dieser Ansatz? Wenn ja, wie kann ich weiterrechnen um z bestimmen zu können?

17.01.2011, 16:01

Mazze

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Zitat:

Daraus folgt:
(a+bi)^2 = (a + b)^2

Wie kommst Du darauf? Entweder hast Du einen Tipfehler drin, oder Du hast den allseit sbeliebten Fehler $\begin{eqnarray*} (a^2 + b^2) = (a + b)^2 \end{eqnarray*}$ gemacht. Diese Gleichung ist falsch. Richtig ist :

$\begin{eqnarray*} (a + bi)^2 = a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$

Den Term (a + bi)^2 solltest Du aber noch ausmultiplizieren.

b) Die Frage ist äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} z^4 - 81 = 0 \end{eqnarray*}$

Ein komplexes Polynom hat stets 4 Nullstellen (mehrfache mitgezählt). Du könntest etwa $\begin{eqnarray*} t = z^2 \end{eqnarray*}$ substituieren und dann die Gleichung mit der pq-Formel lösen(oder durch hinsehen). Beim Rücksubstituieren erhälst Du dann die Lösungen. (wie in der Schule)

17.01.2011, 19:40

coco21

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zu a)
hier habe ich den von dir erkannten Fehler gemacht.
Ich habe die Gleichung nun weiter aufgelöst:
a^2 + 2abi + bi^2 = a^2 + b^2 /-a^2
2abi + bi^2 = b^2

i^2 ist ja als definiert als i^2 = -1

Daraus folgt:
2abi + b^2 = b^2 /-b^2
2abi = 0

Wie komme ich aber jetzt weiter?

17.01.2011, 19:49

coco21

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zu b)

Wenn ich substituiere t = z^2 so ergibt sich

t^2 - 81 = 0

und das t^2 entspricht jetzt der Form (a+bi)^2 oder wie?

17.01.2011, 22:53

Mazze

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Zu a)

Du hast das Quadrat auf der linken Seite falsch aufgelößt.

Komplexe Multiplikation :

$\begin{eqnarray*} (a + bi) * (c + di) = ac - bd + i(ad + bc) \end{eqnarray*}$ , was ist dann

$\begin{eqnarray*} (a + bi)^2 = (a + bi) * (a + bi) = ... \end{eqnarray*}$

?

Die Binomische Formel wie Du sie angewendest hast, gilt erstmal nur im reellen.

zu b)

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} t^2 - 81 = 0 \end{eqnarray*}$ hat höchstens 2 Lösungen. Man hier zwei Lösungen angeben, und beide Lösungen sind reell (jede reelle Zahl ist auch eine komplexe Zahl mit Imaginärteil 0). Du musst dich nur fragen, welche Zahl zum Quadrat 81 ergibt (kleines ein mal eins ). Mit den zwei Lösungen kannst Du dann per Rücksubstitution die 4 Lösungen der Ausgangsgleichung erhalten.

18.01.2011, 11:57

coco21

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zu a)

(a + bi)^2 = a^2 + b^2

a^2 - b^2 + i (ab + ab) = a^2 + b^2 / - a^2
i (ab + ab) = 2b^2

Aber wie komme ich jetzt weiter?

zu b)
Mir war nicht bewusst, dass ich den Imaginärteil = 0 setzen kann.
Dann kann ich die Gleichung auflösen.

Substitution: t = z^2

t^2 = 81
t = 9
t = -9

Rücksubstitution:

9 = 3
9 = -3

- 9 = 3
- 9 = -3

18.01.2011, 12:47

Mazze

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Du kannst $\begin{eqnarray*} i(ab + ab) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 2abi \end{eqnarray*}$ abkürzen. Damit erhält man die Gleichung

$\begin{eqnarray*} iab = b^2 \end{eqnarray*}$

a und b sind reelle Zahlen, welche einzige Möglichkeit gibt es also, b zu wählen? Was bedeutet das für a?

Die Lösungen der substituierten Gleichung sind ok. Was Du bei der Rücksubstitution machst jedoch nicht. Zunächst ergibt die Gleichung

9 = 3 (und alle anderen Gleichungen) keinen Sinn, 9 ist nicht gleich 3.

Wir wissen :

$\begin{eqnarray*} z^2 = t \end{eqnarray*}$

Und wir haben $\begin{eqnarray*} t_1 = 9 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t_2 = -9 \end{eqnarray*}$ , das ergibt für z also folgende beiden Gleichungen :

$\begin{eqnarray*} z^2 = 9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z^2 = -9 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichungen werden nach z gelößt, die Lösungen sind dann Lösungen der Ausgangsgleichung.

18.01.2011, 16:46

coco21

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zu a)
abi = b^2

für b kann ich nur 0 wählen. Daraus resultiert das a auch 0 ist.

zu b)
z^2 = 9
z_1 = -3
z_1 = 3

z^2 = -9
z_1 = $\begin{eqnarray*} \sqrt{-3} \end{eqnarray*}$

18.01.2011, 17:19

corvus

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.
Für welche $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ gilt:

a) $\begin{eqnarray*} z^{2} = | z | ^{2} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} z^{4} = 81 \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} e^{z} = i \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von coco21
zu a)
abi = b^2

für b kann ich nur 0 wählen. Daraus resultiert das a auch 0 ist. unglücklich

zu b)
z^2 = 9
z_1 = -3
z_2 = 3

z^2 = -9
z_1 = $\begin{eqnarray*} \sqrt{-3} \end{eqnarray*}$ unglücklich

zu a)
Ansatz z=a+bi
selbstverständlich darfst du auch beim Rechnen mit komplexen
Zahlen die Binomformel verwenden .. beachte aber: Klammern setzen!

$\begin{eqnarray*} a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$
also dann:
$\begin{eqnarray*} a^2 + 2abi - b^2 = a^2 + b^2 \end{eqnarray*}$
und nun geht es so weiter:
komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn sie
in Realteil und im Imaginärteil übereinstimmen
du erhältst also nun ein reelles Gleichungssystem:

a² - b² = a² + b²
2ab = 0

und hoffentlich schaffst du es nun , die richtigen
Schlüsse für a und für b zu ziehen ..

zu b):
z² = -9
z² = 9 * ( i )²
wie gross sind also z3 bzw z4 verwirrt

ok?

18.01.2011, 18:51

phtg14

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Bei a) kommt man also auf die Lösung b = 0 und b = ai ?

zu b) wie kommst du auf z² = 9 * ( i )² ? und überhaupt warum ersetzt man z nicht wieder duch a + bi?

19.01.2011, 00:49

corvus

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Zitat:

Original von phtg14
Bei a) kommt man also auf die Lösung b = 0 und b = ai ? geschockt

zu b) wie kommst du auf z² = 9 * ( i )² ?
und überhaupt warum ersetzt man z nicht wieder duch a + bi?

zu a)
a und b sind rein reelle Zahlen
(und nicht beide zB gleich 0) .. also b=ai ist Schwachsinn .

hier nochmal:
du erhältst ein Gleichungssystem:

a² - b² = a² + b²
2ab = 0

und dazu suchst du die möglichen reellen Zahlen, die beide
Gleichungen erfüllen.
Richtig hast du bis jetzt nur b=0
.. welche Folgerung ergibt sich nun für a?
(a könnte - muss aber nicht 0 sein)

zu b):
weiter oben hast du die richtige Erkenntnis notiert:

i^2 ist ja als definiert als i^2 = -1

also kannst du nun -9 auch schreiben als 9*(-1) = 9*i²

und natürlich könntest du auch wieder den Ansatz z=u+iv machen..
nach dem Motto: warum denn einfach, wenn es auch umständlich geht.

ok?
nebenbei: deinen Namen brauchst du dazu nicht auch noch ändern.. Gott

19.01.2011, 14:11

coco21

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zu a)
b = 0 und a ist frei wählbar

19.01.2011, 14:16

corvus

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Zitat:

Original von coco21
zu a)
b = 0 und a ist frei wählbar

also dann:
die Frage war: für welche komplexen Zahlen z gilt die Gleichung z²=|z|²
Antwort? -> ...
.

19.01.2011, 14:38

coco21

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zu b)

9 *(-1) = 9i^2

Dieser Schritt ist mir klar. Somit wäre 9i^2 eine weitere Lösung. Was wäre jetzt jedoch die vierte Lösung? Ein komplexes Polynom besteht ja aus 4 Nullstellen.

zu a)
b = 0 und a < 0

nebenbei: Ich habe meinen Namen nicht geändert. Da arbeitet wohl noch jemand an derselben Aufgabe wie ich.
Aber trotzdem vielen Dank für deine Hilfe!

19.01.2011, 16:28

corvus

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Zitat:

Original von coco21
zu b)

9 *(-1) = 9i^2

Dieser Schritt ist mir klar. Somit wäre 9i^2 eine weitere Lösung. geschockt

NEIN

Was wäre jetzt jedoch die vierte Lösung?
Ein komplexes Polynom besteht ja aus 4 Nullstellen. glaubst du?

zu a)
b = 0 und a < 0 unglücklich

das ist nicht die richtige Lösung

die beiden fehlenden Lösungen bei Aufgabe b) bekommst du als
Lösungen der quadratischen Gleichung z²=9i²

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