Divergenz einer reellen Folge (a_n:=n) mit der Definition der Divergenz zeigen

17.01.2011, 15:45

veni.vidi.vici

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Divergenz einer reellen Folge (a_n:=n) mit der Definition der Divergenz zeigen

Hallo zusammen,

wir sollen zeigen, dass eine Folge divergiert und dabei die Definition der Divergenz, was nichts anderes ist als die Negation der Definition der Konvergenz, verwenden. Allerdings kann mir niemand genau Auskunft geben, ob das so stimmt, was ich beweise bzw. es kommen nur "wachsweiche" Antworten. Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen. Es geht um die schematische Anwendung des Beweises (so, wie ich es "immer" machen kann).

Sei $\begin{eqnarray*} a_n:=n \end{eqnarray*}$ eine reelle Folge.
Laut Definition der Divergenz: Für alle $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ wähle $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray*} | a_n-a | \geq \epsilon \end{eqnarray*}$ .
Dann ist:
$\begin{eqnarray*} | a_n-a |=| n-a | \geq ... \geq \epsilon \end{eqnarray*}$

An genau dieser Stelle weiß ich nicht mehr weiter. Ich muss doch (platt gesagt) irgendein Epsilon und n wählen und dann eine Fallunterscheidung durchführen für den Betrag. Wenn nein, wie gehe ich sonst allgemein vor? Muss ich dann immer die Dreiecksungleichung anwenden an dieser Stelle?

Bitte helft mir!

Viele Grüße

v³

17.01.2011, 16:14

Mazze

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Ich würde für alle a das Epsilon 1 setzen. Denn dann findest Du recht schnell ein N, so dass für alle n > N dann

$\begin{eqnarray*} |n - a| > 1 \end{eqnarray*}$

gilt. Beispiel : Wenn a = 2 ist, dann wäre N = 3 , denn für alle n > 3 ist wohl

$\begin{eqnarray*} | n - 2 | > 1 \end{eqnarray*}$

Und das jetzt für allgemeines a.

17.01.2011, 16:21

veni.vidi.vici

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Hallo Mazze, danke für deine Antwort.

Darf ich bei der Divergenz das Epsilon immer beliebig setzen, d.h. auch 1? Kann man das dann als Beweis verstehen. Es heißt ja, es existiert ein Epsilon größer Null. Bedeutet das, dass man jedes beliebige Epsilon wählen darf?

$\begin{eqnarray*} | n-a | \geq 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N=1+a \end{eqnarray*}$
Das im Betrag soll größer als Null sein.

Was hälst du davon? Wenn ok, muss ich dann immer "die Betragsstriche einfach weglassen"?

17.01.2011, 16:26

Mazze

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Du sollst die Existenz eines Epsilons nachweisen (für alle a). Wenn Du also explizit ein Epsilon angibst, was die Eigenschaft erfüllt, dann existiert es wohl (denn sonst könntest Du es ja nicht hinschreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Dir muss auch klar sein, das a eine reelle Zahl ist. Daher macht die Zuordnung N = 1 + a so erstmal keinen Sinn (weil N ja eine natürliche Zahl ist). Du könntest aber die nächst größere natürliche Zahl von a betrachten. Nennen wir diese Zahl p(a), dann ist N = 1 + p(a) eine Möglichkeit für positives a. Für negative a ist das Ganze trivial, warum ?

17.01.2011, 16:40

veni.vidi.vici

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Wie finde ich dieses Epsilon dann heraus, weiß man das mit der Zeit erst automatisch? Oder setzt man dieses einfach auf 1?
Bei der Konvergenz nimmt man einen Grenzwert an und zeigt dann, dass es tatsächlich der Grenzwert war. Ist das hier ähnlich zum Epsilon?

Genau, und es soll für alle a gelten.
Weiterhin steht doch der Betrag in der Definition, d.h. für negative a gilt das Gleiche wie für positive?

17.01.2011, 16:50

Mazze

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Naja, macht denn die Zuordnung N = 1 + p(a) für negative a überhaupt Sinn?

Das ich Epsilon gleich 1 wähle liegt einfach an der Folge. Man sieht doch sofort dass für positive a und $\begin{eqnarray*} N > p(a) \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |n - a| > 1 \end{eqnarray*}$ für alle n > N gilt. Für negative a ist natürlich $\begin{eqnarray*} |n - a| > 1 \end{eqnarray*}$ trivialerweise erfüllt, warum?

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17.01.2011, 16:56

veni.vidi.vici

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$\begin{eqnarray*} | n-a | = | -(n+a) | = | -1 | \cdot | n+a | = | n+a | \end{eqnarray*}$
Wenn a negativ wäre, würde sich nichts ändern am Betrag. Kann man deshalb den Fall ausblenden und o.B.d.A. schreiben?

17.01.2011, 17:04

Mazze

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Du hast falsch umgeformt. Es ist

$\begin{eqnarray*} -(n + a) = -n - a \end{eqnarray*}$ und das ergibt ganz sicher was anderes im Betrag als n - a. Gegenbeispiel :

n = 2 , a = -2

Dann ist

$\begin{eqnarray*} |n - a| = 4 \end{eqnarray*}$

aber

$\begin{eqnarray*} |n + a| = 0 \end{eqnarray*}$

Damit ist natürlich $\begin{eqnarray*} |n - a| \neq |n + a| \end{eqnarray*}$

Nein, wenn a negativ ist, dann ist -a positiv. Wenn Du also n - a rechnest, und a negativ ist, was passiert?

17.01.2011, 17:10

veni.vidi.vici

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Hupps, das minus vergessen Hammer

Hammer

Wenn n-a und a negativ dann ist (n-a) größer als n selbst.
Hmm... sehe immer noch nicht so richtig, in welche Richtung das Ganze läuft.

Ich muss doch ein N angeben, ab welchem der Betrag größer gleich 1 oder nicht?

17.01.2011, 17:11

Mazze

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Naja, n ist eine natürliche Zahl, sprich, n ist mindestens 1. Jetzt sagst Du richtiger Weise, wenn a negativ ist, ist n - a größer als n selbst. Nun, es gilt also n - a > n und n >= 1, also?

17.01.2011, 17:14

veni.vidi.vici

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Wenn a negativ und es gilt:
n-a>n, mit n>=1.

Dann kann a beliebig gewählt werden, ich meine in diesem Fall:
a Element IR^(-)

17.01.2011, 17:16

Mazze

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Du solltest dein Ziel nicht aus den Augen verlieren. Sei a < 0, dann suchen wir ein N so dass für alle n > N |n - a| > 1 gilt.

17.01.2011, 17:20

veni.vidi.vici

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Für a<0 ist |n - a| > 1 wenn N>a <=> N=a+k

17.01.2011, 17:22

Mazze

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N ist immer größer a, weil N eine natürliche Zahl ist und a negativ. Nein, es ist doch ganz einfach, ist a negativ , so gilt

n - a > n

Damit ist natürlich auch

|n - a| > n, und da n eine natürliche Zahl ist gilt

$\begin{eqnarray*} |n - a| > n \geq 1 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} |n - a| > 1 \end{eqnarray*}$ für alle n

was zu zeigen war.

17.01.2011, 17:33

veni.vidi.vici

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Ok, kann ich nachvollziehen.
Ich kann hier kein konkretes N angeben, weil für negative a N größer als a ist?

Wenn a positiv ist, dann weiß ich nicht, wie ich das machen soll.
Im Betrag stünde doch n-a. Ich weiß nicht, ob diese Differenz positiv oder negativ wird, was mache ich dann? Fallunterscheidung?

17.01.2011, 18:20

veni.vidi.vici

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Nochmals zusammenfassend (damit ich ein "Kochrezept" habe für den Beweis)

Wenn ich Divergenz zeigen soll, dann:
(1) Definition hinschreiben
(2) Epsilon angeben (kommt ganz auf den Fall an), sodass |n - a| > Epsilon, d.h. Epsilon = 1
(3) Abschätzung mittels Dreiecksungleichung nach unten, d.h.
$\begin{eqnarray*} |n - a| > ||n| - |a|| = |n - |a|| > 1 \end{eqnarray*}$
(4) Fallunterscheidung für das a
(5) Jetzt ein n angeben:
für a>=0: n>a+1, d.h. N=a+1
für a<0: n>a+1, d.h. N=a+1

Dann bin ich doch fertig, oder?

Stimmt das so? Bitte ändert dieses Schema ab, wenn man das nicht so machen kann, aber lasst die Nummerierung stehen, damit ich weiß, wie ich immer vorgehen kann.

Das wäre super, wenn das jemand überprüft und entsprechend ausbessert Freude

Freude

17.01.2011, 21:54

veni.vidi.vici

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Kann sonst niemand etwas dazu sagen?
Würde es so gerne durchblickt haben Big Laugh

Big Laugh

17.01.2011, 22:48

Mazze

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Zitat:

Ich kann hier kein konkretes N angeben, weil für negative a N größer als a ist?

Du kannst sogar unendlich viele N angeben. Für a < 0 ist jedes $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ eine erlaubte wahl. Das liegt einfahc daran, dass

$\begin{eqnarray*} |n - a| > 1 \end{eqnarray*}$

für alle n gilt, daher kann ich mir jedes x-beliebige wählen.

Zu deinem Punkt 3 :

$\begin{eqnarray*} |n - |a| | > 1 \end{eqnarray*}$

gilt erst für $\begin{eqnarray*} n > |a| + 1 \end{eqnarray*}$ (bzw. für n < |a| - 1 aber das ist hier nicht von belang). Insbesondere wäre diese Zeile aber ausreichend für den kompletten Beweis.
Das müsste nur sauber ausformuliert werden.

18.01.2011, 12:53

veni.vidi.vici

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Was meinst du mit sauber ausformulieren?

Ich weiß wirklich nicht, wie ich das aufschreiben soll.

Die Dreiecksungleichung wende ich an, dann Fallunterscheidung für a.
Dann kann ich ein n angeben, dass größer gleich n_0 ist.

Wie schreibe ich das auf?

18.01.2011, 13:20

Mazze

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Sei $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} |a_n - a| = |n - a| \geq |n - |a| | > 1 ~ \forall n > a + 1 \end{eqnarray*}$ , damit divergiert a_n. Fertig.

Du hast so für jedes reelle a ein Epsilon gefunden , so dass für alle natürlichen Zahlen n ein N > n existiert, so dass $\begin{eqnarray*} |n - a| > \varepsilon \end{eqnarray*}$ gilt, was die Divergenz zeigt. Die Fallunterscheidung machst Du nur, wenn Du die umgekehrte Dreiecksungleichung nicht verwendest.

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