Der Gauß-Algorithmus

17.01.2011, 16:33	Vorpal	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Gauß-Algorithmus Hallo ihr lieben. Unser Mathelehrer hat jetzt schon mehrmals im zusammenhang mit dem Gauß- Algorithmus eine Pivot-Zeile erwähnt, könnte mir vielleicht jemand erklären, was es damit auf sich hat? Vielen dank schonmal
18.01.2011, 08:49	geischtli	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim Gauss-Algortythmus möchtest du ja eine Matrix in - optimalerweise - Dreiecksform bringen. Das heisst, du rechnest so, dass du unter einer Zahl, welche du als Pivot gewählt hast, lauter 0en zu stehen kommen, so dass du in dieser Spalte nur das Pivot noch als Zahl ungleich Null steht. Jetzt gehst du eine Spalte weiter rechts, und das gleiche noch einmal, jedoch eine Zeile nach unten verschoben. Das heisst, dass du im Normalfall für quadratische Matrizen wahrscheinlich immer #Zeilen = #Pivots bekommen wirst. Die Pivot-Zeilen sind nun jene, welche eben ein Pivot in ihrer Zeile haben. Natürlich geht das auch anders, wenn du z.Bsp hast: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix}\begin{array}{ccccc\|c}<br /> 2 & -1 & 3 & -1 & 1 & -2 \\<br /> 2 & -1 & 3 & 0 & -1 & -3 \\<br /> -4 & 2 & -4 & 5 & -5 & 3 \\<br /> 0 & 0 & -2 & 2 & -7 & -5+s \\<br /> -2 & 1 & -1 & 0 & 4 & 5 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Mit Gauss kommst du auf folgendes: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} \begin{array}{ccccc\|c}<br /> 2 & -1 & 3 & -1 & 1 & -2 \\<br /> 0 & 0 & 2 & 3 & -3 & -1 \\<br /> 0 & 0 & 0 & 1 & -2& -1 \\<br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1+s \\<br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Deine Pivots sind jetzt: $\begin{eqnarray} 2: A_{11}, 2: A_{23}, 1: A_{34} \end{eqnarray}$ Du siehst, wir haben 5 Zeilen aber nur 3 Pivots. Das bedeutet nun, dass es beim Lösen dieses GLS zu einer Wahl von 2 freien Parametern kommen muss, und dass die unterste Zeile eine Verträglichkeitsbedingung darstellt, aber das nur am Rande, dass du das auch schon mal gehört / gelesen hast Ich hoffe damit ist deine Frage beantwortet Greez geischtli edit: Das optimale Pivot für die Handrechung ist 1
18.01.2011, 11:31	Vorpal	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah alles klar. Nach deinem edit verstehe ichs jetzt auch vollständig. Vielen vielen dank

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