Einheit in der Menge der formalen Potenzreihen

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17.01.2011, 17:27	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Einheit in der Menge der formalen Potenzreihen Meine Frage: Zeigen Sie, dass eine formale Potenzreihe $\begin{eqnarray} f=\sum_{n\geq0}a_nX^n \in R[[X]] \end{eqnarray}$ eine Einheit ist genau dann, wenn $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ eine Einheit in R ist. [Anmerkung: $\begin{eqnarray} R[[X]]:=\left\{a_0+a_1X+a_2X^2+...\|a_i \in R\right\} \end{eqnarray}$ , wobei R ein kommutativer Ring mit Einselement ist] Meine Ideen: Ich habe wohl eine Idee, weiß aber nicht, ob sie vollständig genug ist. $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} f=\sum_{n\geq0}a_nX^n \in R[[X]] \end{eqnarray}$ Einheit. Dann gilt $\begin{eqnarray} fg=1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g\in R[[X]] \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \sum_{n\geq 0}a_nX^n * \sum_{k\geq 0} b_kX^k=\sum_{i\geq 0}\underbrace{(\sum_{i=k+n}a_nb_k)}_{=:c_i}X^i=1 \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} c_0=a_0b_0=a_0a_0^{-1}=1 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} b_0=a_0^{-1} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ Einheit von R. [Generell muss jetzt auch für i>0 gelten: $\begin{eqnarray} c_i=0 \end{eqnarray}$ , aber muss ich das noch beachten bzw. ist das Teil der Aufgabe? Ich würde sagen nein.] $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ Einheit von R. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray} b\in R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_0b=1 \end{eqnarray}$ . [Was muss ich hier jetzt noch zeigen? Dann existiert halt so ein obiger Ausdruck.]
17.01.2011, 18:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst noch zeigen, $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ Einheit in $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} f=\sum_{n\geq 0}a_nX^n \end{eqnarray}$ Einheit in $\begin{eqnarray} R[[X]] \end{eqnarray}$ .
17.01.2011, 18:55	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, also die Rückrichtung. Aber ich weiß nicht so genau, was man da noch zeigen muss. Ich meine: Wenn $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ Einheit in R ist, so ex. ein $\begin{eqnarray} b_0 \in R \end{eqnarray}$ , sodass man ein Polynom $\begin{eqnarray} g=\sum_{n\geq 0}b_nX^n \end{eqnarray}$ finden kann, sodass $\begin{eqnarray} \sum_{k\geq 0}a_kX^k g =1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a_0b_0=1 \end{eqnarray*}$ Mit anderen Worten: Es ist doch eigentlich schon alles gezeigt mit der Hinrichtung. Man muss es doch nur umformulieren wie ichs grad versucht habe, oder?
17.01.2011, 19:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich nicht. Beispiel $\begin{eqnarray} R=\mathbb Z \end{eqnarray}$ , wie schließt du aus $\begin{eqnarray} 1\cdot 1=1 \end{eqnarray}$ darauf, dass du $\begin{eqnarray} 1+2X+3X^2+...=\sum_{n\geq 0}(n+1)X^n \end{eqnarray}$ invertieren kannst ?
17.01.2011, 19:08	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt. Das geht nicht. Hast Du einen kleinen Tipp für mich, wie ich dann vorgehen könnte?
17.01.2011, 19:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
... erst noch ein bißchen selbst versuchen ... und wenn du keine Geduld mehr hast und auf keinen grünen Zweig kommst, hier nachsehen : http://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series
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17.01.2011, 19:36	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme da leider auf gar nichts. Nichtmal den Hauch einer Idee.
17.01.2011, 19:57	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Also man muss sich jetzt bestimmt irgendwas Gescheites überlegen. $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ ist ja irgendein invertierbares Element in R. Und man muss es jetzt so wählen, dass sich dann in der Darstellung von f fast alles aufhebt.
17.01.2011, 20:38	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ein letzter Versuch von meiner Seite. Gelte also $\begin{eqnarray} a_0b_0=1 \end{eqnarray}$ . Wenn ich mich nicht irre, so ist doch $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ als "konstantes" Polynom ebenfalls Element von $\begin{eqnarray} R[[X]] \end{eqnarray}$ . Und wenn dann auch $\begin{eqnarray} f \in R[[X]] \end{eqnarray}$ , dann muss doch $\begin{eqnarray} a_0f \in R[[X]] \end{eqnarray}$ gelten. Denn $\begin{eqnarray} (R[[X]],) \end{eqnarray}$ ist ja Halbgruppe. Außerdem kann doch auch das Einselement enthalten sein in R[[X]], da doch die Koeffizienten der Polynome aus R stammen. Außerdem kann auch $\begin{eqnarray} b_0 \end{eqnarray}$ in R[[X]] sein. Ach, ich lass es. Ich komme nicht weiter.
17.01.2011, 21:12	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat nicht jemand einen Tipp für einen dummen Menschen? Wie zeigt man die blöde Rückrichtung?
17.01.2011, 21:54	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheit in der Menge der formalen Potenzreihen $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ Einheit in R, d.h. $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ ist invertierbar. $\begin{eqnarray} f=\sum_{n\geq 0}a_nX^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_0=f-\sum_{n\geq 1}a_nX^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_0^{-1}=(f-\sum_{n\geq 1}a_nX^n)^{-1} \end{eqnarray}$ Ist vielleicht das ein Ansatz?
18.01.2011, 08:11	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt habe ich alle wahrscheinlich so verwirrt mit meinen 1000 Ansätzen, dass keiner mehr irgendetwas versteht..
18.01.2011, 14:54	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es vielleicht gut, wenn ich die Aufgabe nochmal ganz neu stelle?
18.01.2011, 17:58	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheit in der Menge der formalen Potenzreihen Beweis $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} f=\sum_{n\geq0}a_nX^n \in R[[X]] \end{eqnarray}$ Einheit. Dann gilt $\begin{eqnarray} fg=1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g\in R[[X]] \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} \sum_{n\geq 0}a_nX^n * \sum_{k\geq 0} b_kX^k=\sum_{i\geq 0}\underbrace{(\sum_{i=k+n}a_nb_k)}_{=:c_i}X^i=1 \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} c_0=a_0b_0=a_0a_0^{-1}=1 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} b_0=a_0^{-1} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ Einheit von R. $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ Einheit von R. Finden muss man jetzt das Inverse zu f bzw. zeigen, dass man dieses schon kennt, wenn $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ nach Voraussetzung Einheit in $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ist. Ich würde das nun so zeigen, indem ich eine rekursive Beschreibung finde: Für die Koeffizienten von $\begin{eqnarray} fg \end{eqnarray}$ gilt ja (wie oben schon verwendet) $\begin{eqnarray} c_n=\sum_{i+j=n}a_ib_j \end{eqnarray}$ . Dass man $\begin{eqnarray} b_0 \end{eqnarray}$ schon bestimmen kann, ist klar, denn da wählt man das Inverse zu $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ , das ja nach Voraussetzung gegeben ist. Und nun seien $\begin{eqnarray} b_0,b_1,...,b_{n-1} \end{eqnarray}$ schon passend bestimmt. Dann gilt ja: $\begin{eqnarray} c_n=a_0b_n+\sum_{i+j=n,j<n}a_ib_j \end{eqnarray}$ Und man kann rekursiv bestimmen: $\begin{eqnarray} b_n=-a_0^{-1}\sum_{i+j=n,j<n}a_ib_j \end{eqnarray}$ . Das heißt ja aber nichts Anderes, als dass man per Induktion gezeigt hat, dass man schon alles weiß, um das Inverse zu konstruieren. Somit ist f Einheit in $\begin{eqnarray} R[[X]] \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Box \end{eqnarray}$ [Die Hoffnung, eine Reaktion zu bekommen, gebe ich nicht auf! ]
18.01.2011, 19:15	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jawohl, so ist es. Der Trick steckt in der vollständigen Rekursion.
18.01.2011, 19:22	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »

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