Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren

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bandchef Auf diesen Beitrag antworten »
Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren
Hi Leute!

Ich möchte folgende Vektoren mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren die Orthogonalbasis bestimmen.






Ich hab dazu folgende Formeln:




Wie gehts da jetzt weiter?

Ich setze a1 in die erste Formel ein erhalte b1. In der zweiten Formel setze ich denn a2 sowie den berechnete b1 ein das ergibt mir c2. Als nächsten Schritt setze ich c2 in die erste Formel ein und erhalte b2. diesen b2 und a3 Setze ich dann in die zweite Formel ein, durch die ich dann c3 erhalte. Wie gehts aber dann weiter? Nun müsste ich ja b3 mit c3 berechnen und aber in die zweite Formel a4 (!) und b3 einsetzen. a4 hab ich aber nicht, oder ist das dann der a1?

Hab ich da was falsch verstanden? Könnt ihr mir helfen?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

es könnte durchaus sein, dass du diese Formel beim Orthogonalisieren einer Basis des IR² gesehen hast. Für den IR³ brauchst du drei Formeln. Schau mal bei Wiki, dort stehen sogar die drei Formeln ausgeschrieben. Du brauchst drei Basisvektoren.
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

a1 - a3 sind meine 3 Basisvektoren, die ich von einer 4x4 matrix erzeugt hab. von einer dritten Formel hab ich heute in meiner Vorlesung aber noch nichts gehört und soll nun ohne dem wissen dieser 3. formel die Aufgabe lösen? Das glaub ich nicht... Oder hab ich deine Antwort jetzt falsch verstanden?
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Wiki schreibt ja das: http://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren

Welche Vektoren sind dann da eigentlich die Vektoren die dann mein Ergebnis, also die Orthogonalebsis angeben? Das sind doch dann und , oder? Ich brauch aber als Ergebnis doch wieder 3 Vektoren, oder? Wenn ich dann diesen Algorithmus durch mache, dann müsste ich ja wieder einen Basisvektor 4 haben welchen es aber nicht gibt...
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Also, imho geht es mit deinen beiden Formeln nicht, aber wie immer: Kundigere mögen mich verbessern!

Das Ergebnis, was du mit dem Wikiartikel herausbekommst, sind .

Den ersten Basisvektor deine Orthogonalbasis hast du also von Anfang an. Es ist . Den zweiten Vektor bekomme ich bei dir auch noch heraus, aber nicht den dritten. Die stehen dann nicht mehr senkrecht, sondern nur noch der zweite und dritte. Gerade deswegen zieht man bei Gram-Schmidt ja die mit dem Skalarpodukt gewichteten Vektoren ab, um den Einfluss der anderen bisherigen Basisvektoren zu eliminieren.
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt meinen Fehler entdeckt. Jeweils die Vektoren ohne dem ' ergeben die Orthogonalbasis-Vektoren. Ich hab jetz folgende Basis raus:

 
 
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Das hatte ich mit deinen Formel auch raus. Da gibt es nur ein Problem ...

Der erste Vektor steht nicht senkrecht auf dem letzten.
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und wie bekomm ich das dann raus? Wie gesagt! Wir haben nur die beiden Formeln in der Vorlesung heute kennengelernt! Es muss also mit diesen beiden Formeln gehen!
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Schauen wir mal, ob sich noch einer meldet, der mehr Ahnung hat. Ich hänge jetzt auch, muss ich sagen.
bandchef Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann warten wir ab...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde mich da Cel anschließen, deine Formel ist eine auf den IR² angepasste Version von Gram-Schmidt.

Wie habt ihr Gram-Schmidt eingeführt, wie habt ihr das aufgeschrieben? Hat euer Professor euch nur das Beispiel gegeben oder habt ihr das ordentlich formuliert und bewiesen?
Bernard Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kenne folgende Formel für die Orthogonalisierung:

Man lege einen Vektor fest:

Dann setzt man

Die bestimmt man so dass für
Hierbei ist B die jeweilige symmetrische, positiv-definite Bilinearform.

Damit komme ich auf


Hilft das weiter? verwirrt
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