Allgemeine Eigenschaften von Funktionen (Bild und Urbild), Lineare Optimierung

23.11.2006, 22:13

n3cRo

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Allgemeine Eigenschaften von Funktionen (Bild und Urbild), Lineare Optimierung

Hallo,
ich habe neulich einen Übungszettel zu einer Mathevorlesung erhalten bei dem mir einige Sachen nicht klar sind bzw. bei denen ich um eine Antwort/Bestätigung froh wäre.

1. Welche Begriffe kann ich mit Bild bzw. Urbild gleichsetzen?
Bild = Graph einer Funktion ?
Urbild = Definitionsmenge ?

2. Aufgabe: Sei f(-1,5) <- Defbereich. f(x) = x³ - 9x² + 24x -5

Berechnen Sie das Urbild f^-1 ([-5, 11]).

Ich dachte mir mit f^-1 sei die Umkehrfunktion gemeint allerdings liefert selbst Derive kein brauchbares Ergebnis und unser Matheübungsleiter konnte auf anhieb auch nichts damit anfangen. Dann dachte ich mir bei einer Umkehrfunktion ist deren Definitionsmenge (wenn Urbild Definitionsmenge ist) der Wertebereich der Ausgangsfunktion, aber irgendwie komme ich da einfach nicht weiter. Wie muss ich die Aufgabe verstehen?!

3. Seien f: D -> E und g: E -> D Funktionen mit g(f(x)) = x für alle x Element D. Ist eine solche Funktion f immer injektiv bzw. surjektiv? Ist eine solche Funktion g immer injektiv bzw. surjektiv?

Wenn ich den oberen Therm aufschlüssel komme ich auf g(y) = y und f(x) = x oder sehe ich das falsch also eigentlich sind die funktionen identisch und beide injektiv oder liegt hier auch ein Verständnisproblem vor?

4. Eine Firma stellt 2 Produkte her mit 3 Maschinen:
Produkt 1: benötigt 1h Maschine A und 1h Maschine B zur Herstellung.
Produkt 2: benötigt 2h Masch A, 1h Masch B und 3h Masch C
Die Maschinenkapazitäten: A 170h, B 150h, C 180h.

x sei die Anzahl ME von Produkt 1. Bestimmte die Funktion f, welche in Abhängigkeit von x die Anzahl von ME von Produkt 2 angibt, welche maximal produziert werden kann, ohne die Masch.kapazitäten zu überschreiten. Bestimmen sie auch den Def.bereich der Funktion f?

Bei der Aufgabe stehe ich total auf dem Schlauch, bzw. mir ist klar
x: Anzahl Produkt 1
f(x): Anzahl Produkt 2

aber ich weiß nicht wie ich was ins Verhältnis setzten muss, in der Vorlesung wurde lineare Optimierung oder ähnliches nie besprochen habe das nur durch Zufall bei Wikipedia gelesen.

Ich wäre also um jeden Tipp etc. dankbar! Danke im vorraus

24.11.2006, 00:07

Mazze

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Fangen wir mal an:

Das Bild einer Menge A unter der Funktion f sind alle f(x) mit x aus A. Wenn A der Definitionsbereich ist, so ist das Bild der Graph der Funktion.
Das Urbild einer Menge B unter der Funktion ist die Menge die alle x enhällt so das $\begin{eqnarray*} f(x) = y , y \in B \end{eqnarray*}$ ist die Menge B der gesammte Bildraum so ist das Urbild der Definitionsbereich. Was wichtig ist:

Das Urbild ist NICHT die Umkehrfunktion, betrachte etwa die Funktion
f(x) = x², die Funktion hat keine Umkehrfunktion auf dem ganzen Definitionsbereich, allerdings Urbilder und die schreibt man gerne so

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(A) \end{eqnarray*}$

im Gegensatz zur Umkehrfunktion die man gerne so schreibt

$\begin{eqnarray*} f(x)^{-1} \end{eqnarray*}$

Beispielsweise ist: $\begin{eqnarray*} f^{-1}(4) = \{-2,2\} \end{eqnarray*}$
Und für das Bild zum Beispiel: $\begin{eqnarray*} f([1,2]) = [1,4] \end{eqnarray*}$

Du sollst also das Urbild der Menge [-5,11] unter der Funktion $\begin{eqnarray*} x^3 - 9x^2 + 24x -5 \end{eqnarray*}$ berechnen. Also alle $\begin{eqnarray*} x \in D \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} f(x) \in [-5,11] \end{eqnarray*}$

Berechne mal die Mengen:

$\begin{eqnarray*} x^3 - 9x^2 + 24x - 5 \geq -5 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} x^3 - 9x^2 + 24x - 5 \leq 11 \end{eqnarray*}$

Der Schnitt der beiden Mengen ist Dein Urbild. #

zu drittens:

Meinst Du die Funktion $\begin{eqnarray*} h(x): = g(f(x)) = x \end{eqnarray*}$ ?
Damit das Ding (auch wen es die Identität ist) bijektiv ist muss f surjektiv sein und g injektiv sein.

24.11.2006, 00:15

n3cRo

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Hallo und Danke erstmal für die schnelle Antwort, jetzt bin ich vom Verständnis her aufjedenfall schon einen ganzen Schritt weiter.

was den letzten Teil angeht so habe ich die Aufgabe 1:1 abgetippt und da kam kein h := vor =(

24.11.2006, 00:17

Mazze

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Ich hab das Ding einfach nur h genannt.

24.11.2006, 00:44

n3cRo

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Also die Aufgabe mit dem Urbild habe ich jetzt verstanden und ausgerechnet, aber mir ist immer noch nicht ganz klar warum bei (3) f surjektiv und g injektiv ist.

ich sehe da nur 2 identische funktionen die doch eigentlich die selben eigenschaften haben müssten?! =(

(gibts auch ne erklärung für dummies, oder irgendwo ne anschauliche grafik im netz?!)

24.11.2006, 17:21

Abakus

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Zitat:

Original von n3cRo
ich sehe da nur 2 identische funktionen die doch eigentlich die selben eigenschaften haben müssten?! =(

Die Funktionen sind keineswegs identisch und die Situation ist nicht symmetrisch: du kannst f und g nicht einfach vertauschen.

Demnach werden f und g iA nicht die selben Eigenschaften haben. Beispiele dazu sollten dir einfallen, wenn du ein bisschen rumprobierst.

Grüße Abakus smile

smile

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26.11.2006, 20:32

n3cRo

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Mal ne Frage zu der Aufgabe mit g(f(x)) = x

imprinzip wird doch jedem wert immer nur einer zugeordnet, also sind doch beide injektiv oder?!

26.11.2006, 20:39

Abakus

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Zitat:

Original von n3cRo
imprinzip wird doch jedem wert immer nur einer zugeordnet, also sind doch beide injektiv oder?!

Nein, sind sie iA nicht beide. Teste es mal an der Quadrat- und Wurzelfunktion aus (geeigneten Definitionsbereich auch mit negativen Zahlen wählen).

Grüße Abakus smile

smile

26.11.2006, 21:10

n3cRo

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ich glaub ich hab irgendwie das totale brett vorm kopf, gibts nicht irgendwo ne grafik oder nen link der mir das prinzip hierhinter näher bringt?! =(

26.11.2006, 23:35

Abakus

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OK, ich schreib dir mal 2 Funktionen hin und du testest dann bitte auf Surjektivität und Injektivität:

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb N \rightarrow \mathbb N,~n \mapsto n^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g : \mathbb N \rightarrow \mathbb N,~n \mapsto \begin{cases} \sqrt{n} & \text{ falls n Quadratzahl} \\ 42 & \text{ sonst } \end{cases} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} g \circ f(n) = id(n) = n \end{eqnarray*}$ , die Verkettung ist demnach unstrittig bijektiv.

Grüße Abakus smile

smile

26.11.2006, 23:54

n3cRo

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f ist surjektiv ( da für f(-1) = 1 und f(1) =1)
g ist auch surjektiv ( da g(3) = 42 und g(5) = 42)

hm ok wenn ich jetzt f in g einsetze liegt nur der erste fall vor und ich habe quasi nur n^0.5 und somit wird jedem y-wert nur ein x-wert zugeordnet.

aber bei meiner aufgabe denk ich mir:

f: D->E, f(x) = x
g: E->D, g(y) = y

also beide funktionen für sich genommen injektiv, da jedem "y"-wert ein x-wert zugeordnet wird

27.11.2006, 00:05

Abakus

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Zitat:

Original von n3cRo
f ist surjektiv ( da für f(-1) = 1 und f(1) =1)
g ist auch surjektiv ( da g(3) = 42 und g(5) = 42)

Die Begriffe surjektiv und injektiv sind dir nicht klar unglücklich

unglücklich

. Am Besten liest du dir beide Begriffe nochmal durch und befasst dich dann nochmal mit dieser Frage.

Grüße Abakus smile

smile

27.11.2006, 00:11

n3cRo

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Surjektiv heißt für mich: zu jedem Element y mindestens ein Argument x.
Injektiv: zu jedem Funktionswert y genau ein Argument x

hm liegt der fehler etwa beim element bzw. funktionswert?

wir haben surjektiv so gezeigt bekommen das man nen graph hat wie zb x^2 und man einfach zb bei x = -1 bzw. x= 1 dne gleichen y wert hat, das wäre doch bei der funktion f der fall?!

27.11.2006, 00:21

Abakus

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Ja, bloß das wendest du nicht so an, wie du es gerade geschrieben hast:

Zitat:

Original von n3cRo
f ist surjektiv ( da für f(-1) = 1 und f(1) =1)

f ist nicht surjektiv (wieso ?) und die Begründung hat eher was mit injektiv zu tun, -1 ist aber nicht im Definitionsbereich.

Zitat:

g ist auch surjektiv ( da g(3) = 42 und g(5) = 42)

Wieso auch ? g ist nicht injektiv (wieso ?)

Grüße Abakus smile

smile

27.11.2006, 00:30

n3cRo

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ok angesichts der definitionsmenge ist f injektiv, das ist mir dann soweit auch klar.

und zu g:

g ist surjektiv da ich y-werte habe zu denen ich mindestens bzw. mehr als einen x-wert zuordnen kann halt den y-wert 42 zu x = 3 und 5

und g ist nicht injektiv da ich dem y wert nicht genau ein argument x sondern mehrere zuordnen kann.

27.11.2006, 00:45

Abakus

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Ja, ok. Ich fasse einmal zusammen:

f injektiv, g nicht injektiv

und

f nicht surjektiv, g surjektiv,

dennoch: $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ bijektiv

Das Beispiel lässt sich natürlich leicht modifizieren, so dass du viele solcher Beispiele findest.

Grüße Abakus smile

smile

27.11.2006, 00:48

n3cRo

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ich glaub ich gebs langsam auf hab schon eine tüte haribo verdrückt als nervennahrung, das hab ich ja jetzt verstanden aber keinen blassen schimmer wie ich das auf meine aufgabe übertrage bzw. dann auf die entsprechende lösung komme

27.11.2006, 01:05

Abakus

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RE: Allgemeine Eigenschaften von Funktionen (Bild und Urbild), Lineare Optimierung

Zitat:

Original von n3cRo
3. Seien f: D -> E und g: E -> D Funktionen mit g(f(x)) = x für alle x Element D. Ist eine solche Funktion f immer injektiv bzw. surjektiv? Ist eine solche Funktion g immer injektiv bzw. surjektiv?

Zwei von den hier gestellten Fragen kannst du mit dem Beispiel (negativ) beantworten.

Die anderen zwei Fälle wären zu beweisen: g ist immer surjektiv und f ist immer injektiv.

Grüße Abakus smile

smile

27.11.2006, 01:11

n3cRo

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RE: Allgemeine Eigenschaften von Funktionen (Bild und Urbild), Lineare Optimierung
Muss ich die Frage etwa so verstehen das ich eine beliebige Funktion f bzw. g nehmen kann und dann gucken muss

f injektiv
f nicht injektiv
f surjektiv
f nicht surjektiv

und dann herausfinden wie sich g verhält?!

27.11.2006, 01:21

Abakus

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RE: Allgemeine Eigenschaften von Funktionen (Bild und Urbild), Lineare Optimierung
Ja, kannst du betrachten. Die Bedingung $\begin{eqnarray*} g \circ f = id \end{eqnarray*}$ muss aber als Voraussetzung erfüllt sein.

Grüße Abakus smile

smile

27.11.2006, 01:30

n3cRo

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RE: Allgemeine Eigenschaften von Funktionen (Bild und Urbild), Lineare Optimierung
ok dann nochmal danke für das lange durchhaltevermögen, werde mich da morgen mal weiter mit außeinandersetzen smile

smile

gute nacht bzw. guten morgen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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