Primfaktoren

23.11.2006, 22:21

timadler

Primfaktoren

Hey zusammen,

mit diesem hier komme ich nicht klar:

$\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und nicht Primzahl
und Primzahl p

zu zeigen: Existiert ein p für das gilt
$\begin{eqnarray*} p|n\\p\leq \sqrt{n} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ auf die nächstgrößere natürlich Zahl aufgerundet wird (ich weiss nicht, wie man das in Latex schreibt.

Dass es überhaupt ein p geben muss ist klar, weil n eine Primfaktorzerlegung mit mehr als 1 Faktor haben muss. Meine Vermutung ist auch, dass bei eine 2-faktorigen Zerlegung diese schon kleiner gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ sein müssen (z.B. 4). Aber das wars auch schon.

Bin für jede Hilfe dankbar!

23.11.2006, 22:26

therisen

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Hallo,

probier doch mal einen Beweis durch Widerspruch. Angenommen, es gäbe keinen Primfaktor $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1<p\leq\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ , dann ...

Gruß, therisen

23.11.2006, 22:30

sqrt4

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Wie du bereits sagtest gilt das erste.

Dass es einen Primteiler geben muss, der kleiner als $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$
ist mit Widerspruch einfach verständlich.

Gäbe es nämlich nur Primfaktoren die größer $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ wären, dann sieht man, dass bereits 2 Primfaktoren zuviel sind

23.11.2006, 22:47

timadler

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OK, dann sollte ich also nur so etwas schreiben:

Da n keine Primzahl ist gibt es eine Primfaktorzerlegung von n mit mindestens zwei Faktoren $\begin{eqnarray*} p_{1}, p_{2} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_{1} \cdot p_{2} = n \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt dass es mindestens ein $\begin{eqnarray*} p|n \end{eqnarray*}$ gibt.

$\begin{eqnarray*} p_{1}, p_{2} \end{eqnarray*}$ müssen schon bereits kleiner gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ sein, denn angenommen sie wären größer, dann würde gelten $\begin{eqnarray*} p_{1} \cdot p_{2} > n \end{eqnarray*}$ . Für den Fall dass für $\begin{eqnarray*} p_{1} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p_{2} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} p > \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ so gilt für das andere $\begin{eqnarray*} p < \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ weil sonst wieder $\begin{eqnarray*} p_{1} \cdot p_{2} > n \end{eqnarray*}$ gelten würde.

Oder noch mehr?

24.11.2006, 07:46

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Zitat:

Original von timadler
$\begin{eqnarray*} p_{1}, p_{2} \end{eqnarray*}$ müssen schon bereits kleiner gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ sein, denn angenommen sie wären größer, dann würde gelten $\begin{eqnarray*} p_{1} \cdot p_{2} > n \end{eqnarray*}$ .

Wenn du das so schreibst, wird dir das als falsch angekreidet - zu Recht! Wenn schon, dann ist es so logisch richtig:

Zitat:

Von den beiden Primfaktoren $\begin{eqnarray*} p_{1}, p_{2} \end{eqnarray*}$ muss zumindest eine bereits kleiner gleich $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ sein, denn angenommen sie wären beide größer, dann würde gelten $\begin{eqnarray*} p_{1} \cdot p_{2} > n \end{eqnarray*}$ .

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