Gleichung [Diff'geo]

18.01.2011, 03:28	Idiot	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung [Diff'geo] Hallo, Ich habe ein problem mit dieser Aufgabe über Lie Gruppen und die zugehörige Lie Algebra: Sei G eine Lie Group, $\begin{eqnarray} A=T_eG \end{eqnarray}$ die zugeh. Lie algebra und $\begin{eqnarray} X \in A \end{eqnarray}$ . ich möchte gerne folgende gleichung zeigen: $\begin{eqnarray} \phi^{L_X}_t(h)=R_{\phi^{L_X}_t(1)}(h) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \phi^{L_X}_t \end{eqnarray}$ der Fluss zu dem zugehörigen vektorfeld $\begin{eqnarray} L_X \end{eqnarray}$ ist, d.h. $\begin{eqnarray} \phi^{L_X}_t=c_h(t) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} c_h(t) \end{eqnarray}$ die zugeh. integralkurve von $\begin{eqnarray} L_X \end{eqnarray}$ ist mit anfangswert h. das R auf der rechten seite ist die multiplikation. Ich hoffe, nun ist alles geklärt. Also ich habe erstmal umgeformt: $\begin{eqnarray} \phi^{L_X}_t(h)=R_{\phi^{L_X}_t(1)}(h) \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} c_h(t)=hc_1(t) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} c_h, c_1 \end{eqnarray}$ die integralkurven zum vf $\begin{eqnarray} L_X \end{eqnarray}$ mit anfangswert h bzw.1 sind. Für t=0 stimmt die gleichung, denn: $\begin{eqnarray} c_h(0)=h=h1=hc_1(0) \end{eqnarray}$ . Aber warum gilt das für alle $\begin{eqnarray} t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ?? Ich hoffe, jemand kann mir helfen. Grüße
18.01.2011, 05:11	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Berechne einfach die Ableitung von $\begin{eqnarray} L_h(c_1(t)) = hc_1(t) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dL_h(c_1(t)) \dot c_1(t) = \ldots \end{eqnarray*}$ und benutze die Eindeutigkeit von Integralkurven.
18.01.2011, 07:30	Idiot	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank erstmal für deine Hilfe! Also ich sehr nicht so richtig worauf du hinauswillst mit dem Term $\begin{eqnarray} dL_h \end{eqnarray}$ .... Aber ich bin mir dabei auch nicht sicher ob du mit dL den pushforward meinst? Ist das in dem Fall tatsächlich die Ableitung?
18.01.2011, 08:49	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist tatsächlich die Ableitung. Wenn ihr mit Derivationen arbeitet, dann ist das entsprechend zu übersetzen. Das ganze Tangentialraum-Zeug - Derivationen, Ableitungen, Keime - läuft letzendlich auf dasselbe hinaus; Dazu sei auch auf Lee's Buch verwiesen. Er spricht einige verschiedene Definitionsmöglichkeiten im Kapitel über Tangentialräume an. Ebenfalls kannst du mal vorblättern zu dem Kapitel übers "Whitney Embedding Thm", dann bekommst du vielleicht eine Idee, weshalb man wirklich von Ableitungen sprechen darf (für eingebettete Untermannigfaltigkeiten im R^n lässt sich die Definition der Ableitung ganz natürlich auf Mannigfaltigkeiten ausweiten und der Tangentialraum ist tatsächlich der tangentiale Vektorraum zur Mannigfaltigkeit). Als ich nach dem Buch von Lee erstmals über die Ableitungsschreibweise (und Sprechweise) gestolpert bin, war ich auch relativ verwirrt, wie das jetzt mit dem von Intro to Sm. M'folds vertrauten Begriff zusammenpasst/-hängt, aber man gewöhnt sich dran. Die Idee ist jedenfalls zu zeigen, dass die Verknüpfung der beiden Funktionen ebenfalls eine Integralkurve ist und die Eindeutigkeit zu nutzen. ( $\begin{eqnarray} L_h(g) := hg \end{eqnarray*}$ ist übrigens die Linksmultiplikation von h)

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