Die Summe von Signum von einer Menge von Permutationen.

18.01.2011, 09:59

Emil

Die Summe von Signum von einer Menge von Permutationen.

Meine Frage:
Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} S_{9} \end{eqnarray*}$ ist die Menge aller Permutationen von {1,2,...,9}. Berechnen Sie die folgenden Ausdrücke:

a) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{\pi =S_{9} } sign(\pi) \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{\pi =S_{9} } sign(\pi)^2 \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{\pi =S_{9} } sign(\pi)*2^a(\pi ) \end{eqnarray*}$ (das letzte $\begin{eqnarray*} (\pi) \end{eqnarray*}$ gehört natürlich zu dem a nach oben. das hab ich mit dem Schreibprogramm nicht hinbekommen.)
weiter zu c): woei $\begin{eqnarray*} a(\pi) :=| \left\{ i\in \left\{ 1,2,...,9\right\}| \pi (i)=i\right\} | \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Als Tip haben wir bekommen für die c) die Determinante einer geeigneten Matrix zu berechnen.

Wir müssen ja alle konstelationen von S_{9} annehmen, also denke ich dass wir mit 9! rechnen müssen. Ich weiß aber nicht, wie wir darauf kommen können, wie viele Missstände es dann gibt..
Also ich häng mit dieser Aufgabe total in der Luft, vorallem für die c) habe ich kein Ansatz.

Würde mich über Hilfe sehr freuen!

18.01.2011, 10:03

René Gruber

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Und statt $\begin{eqnarray*} \pi=S_9 \end{eqnarray*}$ in all den Summen ist wohl eher $\begin{eqnarray*} \pi \in S_9 \end{eqnarray*}$ gemeint, dann schreib das besser auch so. Bei c) insgesamt also

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{\pi \in S_9} \operatorname{sign}(\pi) \cdot 2^{a(\pi)} \end{eqnarray*}$ .

18.01.2011, 10:28

Emil

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ja du hast vollkommen recht. ich kanns jetzt aber leider nicht mehr ändern.. :-(

18.01.2011, 10:34

René Gruber

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Zur c)

Die Leibniz-Formel zur Berechnung der Determinante einer Matrix $\begin{eqnarray*} B=(b_{ij})_{i,j=1,\ldots,n} \end{eqnarray*}$ lautet

$\begin{eqnarray*} \det(B) = \sum_{\pi \in S_n} \operatorname{sign}(\pi) \prod_{i=1}^n b_{i,\pi(i)} \end{eqnarray*}$ .

Es wäre also irgendwie günstig, eine Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n b_{i,\pi(i)} = 2^{a(\pi)} \end{eqnarray*}$ zu finden:

Jeder Fixpunkt $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (entspricht einem Diagonalelement der Matrix) trägt mit Faktor 2 zum Produkt bei, jeder Nichtfixpunkt (entspricht Nichtdiagonalenelement) mit Faktor 1 ...

18.01.2011, 10:48

Emil

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Also in meinem Fall $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^9 b_{i,\pi(i)} = 2^{a(\pi)} \end{eqnarray*}$ ...

Das heißt ich erhalte dann als Produkt 2^9= 512

18.01.2011, 10:55

René Gruber

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Was sollen diese $\begin{eqnarray*} 2^9=512 \end{eqnarray*}$ jetzt bedeuten in Hinblick auf die Aufgabe? unglücklich

Wir reden erstmal von einer Matrix und deren Determinante.

18.01.2011, 11:07

Emil

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Also die passende Matrix wäre dann eine 9x9 Matrix die in der Diagonalen nur 2er stehen hat und ansonsten lauter 1er.
Kann ich um die Determinante zu berechnen diese Matrix in 4 3x3x Mtrizen unterteilen und dann einfach die Regel von Sarrus anwenden? (ich hoffe ich lieg nicht wieder total daneben verwirrt

)

18.01.2011, 11:09

René Gruber

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Zitat:

Original von Emil
Kann ich um die Determinante zu berechnen diese Matrix in 4 3x3x Mtrizen unterteilen und dann einfach die Regel von Sarrus anwenden?

Nein.

18.01.2011, 11:13

Emil

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ich meinen natürlich 9 3x3 Matritzen

18.01.2011, 11:15

René Gruber

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Trotzdem nein. Die Sarrus-Regeln gelten für 2x2- bzw. 3x3-Matrizen, nicht für größere - auch nicht mit irgendwelchen Blockbildungen.

Es gibt andere Regeln zur Reduktion einer großen Determinante, vorrangig:

1) Addieren/Subtrahieren von Vielfachen anderer Zeilen bzw. Spalten zwecks Erzeugung möglichst vieler Nullen in einer Zeile oder Spalte

und anschließend

2) Laplacescher Entwicklungssatz angewandt auf diese Zeile oder Spalte mit den vielen Nullen

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