Spline-Interpolation (kubisch)

18.01.2011, 16:18

Leora

Spline-Interpolation (kubisch)

Meine Frage:
Huhu,

also ich muss für ein Referat die kubische Spline-Interpolation anhand einer Beispielaufgabe erklären können.

Dazu ist in meinem Mathebuch eine Aufgabe, bei der man durch eine angepasste Splinefunktion die Hälfte eines Schiffsrumpfes(Querschnitt)modellieren soll.
Folgede Werte sind gegeben :
x 0 4 8 11 12
y 0 2 4 8 12
Es sollen vier Teilfunktionen bestimmt werden ( $\begin{eqnarray*} s_{1},s_{2},s_{3},s_{4} \end{eqnarray*}$ )

Meine Ideen:
Ich weiß, dass man für die 4 Teilgleichungen 16 Bedingungen braucht.
Wie diese zustande kommen weiß ich, da gibts keine Probleme. Jedoch hab ich absolut keine Ahnung wie ich aus den meisten Bedingungen eine Gleichung machen soll, wenn mir das jemand erklären könnte, würde mir das schon reichen. Ich hab schon sämtliche Beiträge zu dem Thema gelesen, aber das hat mir nicht weitergeholfen. Auch aus dem Beitrag, der diese Aufgabe beinhaltet, bin ich nicht schlau geworden =(
Hier mal die Bedingungen:
$\begin{eqnarray*} 1.s_{1}(0)= 0 2. s_{1}(4)= 2 3. s_{2}(4)= 2 4. s_{1}'(4)= s_{2}'(4) 5. s_{1}''(4)= s_{2}''(4) 6. s_{2}(8)= 4 7. s_{3} (8)= 4 8. s_{2}'(8)= s_{3}'(8) 9. s_{2}''(8)= s_{3}''(8) 10. s_{3}(11) = 8 11. s_{4}(11) = 8 12. s_{3}'(11)= s_{4}'(11) 13. s_{3}''(11)= s_{4}''(11) 14. s_{4}(12) =12 15. s_{4}''(12)= 0 16. s_{1}''(0)= 0 \end{eqnarray*}$
Ich weiß auch, dass die Gleichungen nach dem Schema $\begin{eqnarray*} f(x)= ax³+bx²+cx+d,bzw. f'(x)= 3ax²+2bx+c,bzw. f''(x)=6ax+2b \end{eqnarray*}$
erstellt werden müssen.
Die Gleichungen die aus den Bedingungen 1,2,3,6,7,10,11,14,15,16 konnte ich schon erstellen, aber die restlichen bereiten mir Probleme. Kann mir da jemand weiterhelfen?

Danke schonmal =)

18.01.2011, 16:26

tigerbine

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RE: Spline-Interpolation (kubisch)
Bevor ich mich durch diesen Datensalat kämpfe: Welcher Typ von kubischem Spline?

[WS] Spline-Interpolation - Theorie

18.01.2011, 16:27

Leora

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natürlicher kubischer Spline

18.01.2011, 16:45

tigerbine

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[attach]17642[/attach]

Ganz unten kommt nun, wie man das Berechnet. Wichtig ist das Ergbenis. Du bekommt da ja in den Teilintervallen immer Polynme.

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6:	Matrix der Restriktionen in Monom-Darstellung: 1,x,x²,x³ RM = 0 0.4860 -0.0000 0.0009 0.3368 0.2333 0.0632 -0.0044 -62.0912 23.6439 -2.8632 0.1175 545.0316 -141.9351 12.1895 -0.3386

Zu lesen als - z.B. erstes Polynom:

0*1 + 0.4860*x -0.0000*x² + 0.0009*x³

Die ganzen doofen Bezeichnungen sind in dem WS erklärt, den ich verlinkt habe. Wichtiger ist ggf. der obere Teil, mit dem sich die Bedingungen ergeben. Man kann ja auch "rumrechnen".

Zitat:

$\begin{eqnarray*} k = 4 \text { und } R_j \in \Pi_3 \end{eqnarray*}$

Stetigkeits- und Glattheitsbedingungen

Es sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:

$\begin{eqnarray*} \text{(4a)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1. \quad S(t_j)=f_j \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad j = 0,1,2,...,n \qquad \quad \text{Interpolationsbedingung 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2. \quad R_{j-1}(t_j) = R_j(t_j)=:u_j \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{Stetigkeit in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3. \quad R'_{j-1}(t_j) = R_j'(t_j)=:s_j \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{1x stetig differenzierbar in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4. \quad R''_{j-1}(t_j) = R_j''(t_j) \quad \qquad \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{2x stetig differenzierbar in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$
____________________________________________________

$\begin{eqnarray*} - \qquad \qquad 4n-2 \quad \text{Bedingungen} \end{eqnarray*}$

Da insgesamt 4n Freiheitsgrade vorhanden sind, müssen noch 2 Bedingungen hinzugefügt werden, um Eindeutigkeit zu erhalten.

Wahl der Eindeutigkeit

$\begin{eqnarray*} \text{(4b)} \end{eqnarray*}$
[list]
[*]Natürlicher Spline

$\begin{eqnarray*} S''(t_0) = R_0''(t_0) = 0 \text{ und } S''(t_n) = R_{n-1}''(t_n) = 0 \end{eqnarray*}$

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:
47:
48:
49:
50:
51:
52:
53:
54:
55:
56:
57:
58:
59:
60:
61:
62:
63:
64:
65:
66:
67:
68:
69:
70:
71:
72:
73:
74:
75:
76:
77:
78:
79:
80:
81:
82:
83:
84:
85:

 
Es wird ein kubischer Spline berechnet. Spezifizierung folgt.
 
Beachte: Der Datensatz hat die Form
         Knoten:           t_0 ,...,  t_n
         Funktionswerte: f(t_0),...,f(t_n)
 
Knotenpunkte eingeben:   [0,4,8,11,12]
Funktionswerte eingeben: [0,2,4,8,12]
 
n =
     4
------------------------------------------------------------------------------
Berechnung der Deltas dt_0,...,dt_n-1
dt =
     4     4     3     1
 
Berechnung der Deltas df_0,...,df_n-1
df =
     2     2     4     4
 
Berechnung der Brüche df0/dt0,...,df_n-1/dt_n-1
dfdt =
    0.5000    0.5000    1.3333    4.0000
 
 
 
Berechnung der Betas   b_1,...,b_n-1
b =
     4     3     1
 
Berechnung der Alphas  a_1,...,a_n-1 (vorläufig)
a =
    16    14     8
 
Berechnung der Gammas  c_1,...c_n-1
c =
     4     4     3
 
Berechnung der rs      r_1,...,r_n-1 (vorläufig)
r =
   12.0000   20.5000   40.0000
 
------------------------------------------------------------------------------
Bitte wählen: 0 - natürlicher Spline
              1 - vollst. Spline
 
Deine Wahl: 0
------------------------------------------------------------------------------
 
Berechnung der Alphas  a_1,...,a_n-1 (nat. Spline)
a =
   14.0000   14.0000    6.5000
 
Berechnung der rs      r_1,...,r_n-1 (nat. Spline)
r =
    9.0000   20.5000   22.0000
 
Aufstellen der Matrix M
M =
   14.0000    4.0000         0
    3.0000   14.0000    4.0000
         0    1.0000    6.5000
 
Berechnung der Lösung s von Ms=r: s_1,...,s_n-1
    0.5281    0.4018    3.3228
 
Der komplette Vektor s: 
s =
    0.4860    0.5281    0.4018    3.3228    4.3386
 
Matrix der Restriktionen in Newton-Darstellung
RN =
         0    0.4860    0.0035    0.0009
    2.0000    0.5281   -0.0070   -0.0044
    4.0000    0.4018    0.3105    0.1175
    8.0000    3.3228    0.6772   -0.3386
 
Matrix der Restriktionen in Monom-Darstellung: 1,x,x²,x³
RM =
         0    0.4860   -0.0000    0.0009
    0.3368    0.2333    0.0632   -0.0044
  -62.0912   23.6439   -2.8632    0.1175
  545.0316 -141.9351   12.1895   -0.3386

18.01.2011, 16:52

Bluedead

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Hallo tigerbine, ich habe das selbe Problem auch mit der Aufgabe, aber deine Antwort hilft mir leider nicht weiter.

Ich muss wissen wie ich aus den Bedingungen auf die Gleichungen komme.

Kannst du mir das vielleicht bitte etwas genauer erklären?

Vielen Dank
Bluedead

18.01.2011, 16:55

tigerbine

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Tja, entweder rum rechnen oder das machen was ich im Workshop geschrieben habe. Das sind eben etwas aufwändigere Rechnungen/Theorien. Augenzwinkern

18.01.2011, 17:00

Bluedead

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das "rum rechnen" ist ja eben das Problem und der WS geht nicht wirklich auf meine Problematik ein.

Ich muss aus den Bedingungen Gleichungen erstellen und weiß nicht wie ich das machen soll.

In welche Funktionen muss ich die Bedingungen wo einsetzen, damit ich auf die Gleichungen komme?

18.01.2011, 17:04

tigerbine

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Zitat:

Original von Bluedead
das "rum rechnen" ist ja eben das Problem und der WS geht nicht wirklich auf meine Problematik ein.

Komisch, denn da steht genau, wie man einen (natürlichen) kubischen Spline berechnet. unglücklich

Leora hat ja auch schon mit einem Ansatz begonnen. Du hast nur Datenpaare. Musst eben die 4 Funktionen [Polynome] bestimmen. Und die müssen gewisse Eigenschaften haben. Das habe ich aber schon geschrieben.

18.01.2011, 17:17

Leora

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Zuerst: Danke für die schnelle Antwort
Nun gut, die Ergebnisse helfen mir erstmal noch nicht sonderlich weiter, da ich noch immer nicht verstehe wie ich zum Beispiel aus $\begin{eqnarray*} s_{1}'(4)=s_{2}'(4) \end{eqnarray*}$ eine brauchbare Gleichung wie bei $\begin{eqnarray*} s_{1}(4)=2 --> 64a+16b+4c+d=2 \end{eqnarray*}$ bekomme. Die im WS angesprochenen Themen wie z.B das Erstellen der Bedingungen sind einleuchtend, wie es dann mit den Ableitungsbedingungen weiter gehen soll verstehe ich jedoch nicht, da ich bei dem ganzen Buchstabenwirrwarr den Überblick verloren habe

18.01.2011, 17:21

tigerbine

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Du stellst allg. 4Polynome auf. Deren Koeffizienten suchst du. Von denen bildest du auch die erste und zweite Ableitung. Mit dem zitieren Theorieteil, weißt du dann, was gleichzusetzen ist. Es entsteht ein Gleichungssystem über alle gesuchten Koeffizienten. Das ist dann zu lösen.

18.01.2011, 17:24

Leora

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ah okay vielen dank =)

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