limes Grenzwert und Stetigkeit Einstieg

18.01.2011, 18:09

Betty2

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limes Grenzwert und Stetigkeit Einstieg

Meine Frage:
Hallo! wir haben gerade mit limes in der schule angefangen und ich blick nicht mehr so recht durch, obwohl es gar nicht so schwer sein dürfte...

wenn ich z.b. gegeben habe:

\lim_{x \to \infty } f(x)= \frac{x³+4x²}{x+4}

dann hat uns der eine lehrer gesagt wir sollen alle teile des zählers und nenners durch die höchste x-potenz teilen. der andere meinte die jeweils höchste x potenz in zähler und nenner ausklammern. was ist einfacher und besser?

blicke da irgendwie nicht so richtig durch...danke

Meine Ideen:
.

18.01.2011, 18:10

Betty2

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x)= \frac{x³+4x²}{x+4} \end{eqnarray*}$

18.01.2011, 18:11

baphomet

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RE: limes Grenzwert und Stetigkeit Einstieg
Das kommt beides aufs gleiche raus, ob du ausklammerst oder dividierst.
Auf jeden Fall ausklammern, das gibt dir sicherlich Auskunft.

18.01.2011, 18:11

Equester

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Das ist doch beides Mal das Gleiche Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x)= \lim_{x \to \infty } \frac{x³+4x²}{x+4} \end{eqnarray*}$

Hier brauchst du nur (im Zähler) 1*x³ zu betrachten.
und im Nenner unten, das 1*x

Den Rest kannst du "wegwerfen".

Oder nach Meinung deines zweiten Lehrers (die besser ist) ausklammern, mach das mal.

18.01.2011, 18:16

geischtli

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Das führt eigentlich aufs gleiche.

Variante 1: Ausklammern der höchsten Potenz

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x)= \frac{x(x^2+4x)}{x(1+\frac{4}{x})} \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst du das x einfach kürzen, da im Zähler, wie auch im Nenner alles Multiplikationen sind.
Ergibt also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x)= \frac{x^2+4x}{1+\frac{4}{x}} \end{eqnarray*}$
Und dieser Grenzwert ist ja nicht so schwer zu berechnen smile

smile

Variante 2: Dividieren mit höchster Potenz

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x)= \frac{(x^3+4x^2)}{(x+4)} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

Ergibt also beides das genau gleiche smile

smile

Greez geischtli

18.01.2011, 18:21

Equester

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geischtli...

Hmm im ersten Falle wäre es besser im Zähler x³ auszuklammern. In der Klammer geht
dann alles gegen 0, außer einer Konstanten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vor der Klammer steht, dann nach dem kürzen nur noch x². Das ist viel einfacher zu
sehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Im zweiten Falle. Du sprichst von höchster Potenz, teilst aber durch die zweitkleinste verwirrt

verwirrt

Augenzwinkern

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18.01.2011, 18:22

Betty2

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danke! versteh ich jetzt! aber mit diesem gegen unendlich laufen noch nicht ganz....also: es gibt einmal die möglichkeit es gegen - unendlich laufen zu lassen und einmal gegen + unendlich

das macht man eben mit den als leztes übrig gebliebenen x-werten und sieht dann ob sie entweder ins unendliche hoch gehen oder immer kleiner werden...ist das richtig?

18.01.2011, 18:26

Equester

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Ich erlaube mir mal, dir zu antworten Augenzwinkern

Augenzwinkern

das macht man eben mit den als leztes übrig gebliebenen x-werten und sieht dann ob sie entweder ins unendliche hoch gehen oder immer kleiner werden...ist das richtig?

Ja genau. Nimm aber meinen verbesserten Vorschlag von geischtli Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x)= \lim_{x \to \infty } \frac{x²(1+\frac{4}{x²})}{(1+\frac{4}{x})} \end{eqnarray*}$

Wie sieht es hier dann aus?

(Ich habe schon mit x gekürzt!)

18.01.2011, 18:27

Betty2

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warum nicht x³ ausklammern?

18.01.2011, 18:30

Equester

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Hab ich gemacht...bin aber schon ein Schritt weiter und hab gleich ein x gekürzt.

Schau her smile

smile

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x)= \lim_{x \to \infty } \frac{x^3(1+\frac{4}{x²})}{x(1+\frac{4}{x})}= \lim_{x \to \infty } \frac{x²(1+\frac{4}{x²})}{(1+\frac{4}{x})} \end{eqnarray*}$

18.01.2011, 18:33

Betty2

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verstehe! dann läuft x² gegen unendlich das mit 4 gegen 0 und unten auch gegen 0, richtig? und dann muss ich oben noch den kompellten zähler gegen 0 laufen lassen oder? hat mir mein lehrer so erklärt..und der läuft dann gegen....bin ich mir nicht sicher...unendlich nehm ich mal an, aber warum kann ich nicht sagen

18.01.2011, 18:37

Equester

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Zitat:

dann läuft x² gegen unendlich

korrekt

Zitat:

das mit 4 gegen 0

das auch

Jetzt hast du stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\infty(1+0)}{1+0} \end{eqnarray*}$

Das ist? Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.01.2011, 18:39

Betty2

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1?
und oben das ganze muss ich nicht noch gegen unendlich laufen lassen?

18.01.2011, 18:42

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso 1?
Wir lassen doch x schon gegen unendlich laufen. Mehr musst du nicht mehr machen.
Nur noch das Ergebnis analysieren Augenzwinkern

Augenzwinkern

Da steht doch dann weiter $\begin{eqnarray*} \frac{\infty*1}{1}=\infty \end{eqnarray*}$

Alles klar? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn ja -> dann bist du dran es mit $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ zumachen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beachte, ich habe etwas vereinfacht -> Ich sagte $\begin{eqnarray*} \infty^2=\infty \end{eqnarray*}$
(Ist klar, oder? Jetzt ists aber wichtig!)

18.01.2011, 18:45

geischtli

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
geischtli...

Hmm im ersten Falle wäre es besser im Zähler x³ auszuklammern. In der Klammer geht
dann alles gegen 0, außer einer Konstanten Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vor der Klammer steht, dann nach dem kürzen nur noch x². Das ist viel einfacher zu
sehen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Im zweiten Falle. Du sprichst von höchster Potenz, teilst aber durch die zweitkleinste verwirrt

verwirrt

Augenzwinkern

hehe ja natürlich ^^
Sorry, ich war da wohl etwas neben den Schuhen :P
Hatte parallel noch an etwas anderem rumgedacht, und hab doch prompt etwas vertauscht :P

Natürlich höchste Potenz = $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ smile

smile

Danke für den Hinweis !

18.01.2011, 18:48

Betty2

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- unendlich:

x² läuft gegen unendlich

4/x² gegen 0

4/x auch gegen 0

dann steht dran

$\begin{eqnarray*} \frac{\infty *(1 }{0} = \infty ?! \end{eqnarray*}$

richtig?

18.01.2011, 18:52

Equester

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Unten steht eine 1.

Dann aber stimmts Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beides läuft gegen + unendlich^^

18.01.2011, 18:54

Betty2

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stimmt...und das ergebnis ist dann unedlich davon?!

18.01.2011, 18:56

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

18.01.2011, 18:56

Betty2

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super danke

18.01.2011, 18:57

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne

Wink

18.01.2011, 19:06

Betty2

Auf diesen Beitrag antworten »

was mach ich bei: $\begin{eqnarray*} \frac{\infty * (1+\infty )}{0} \end{eqnarray*}$

18.01.2011, 20:56

Equester

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Das ist doch einfach $\begin{eqnarray*} \infty*1+\infty*\infty \end{eqnarray*}$ Das geht natürlich gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

(Ich gehe mal davon aus, dass im Nenner eine 1 steht Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

19.01.2011, 19:16

Betty2

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Hallo!

wie ist es denn bei $\begin{eqnarray*} \frac{x²+3}{x} \end{eqnarray*}$

dann hab ich doch folgendes= $\begin{eqnarray*} \frac{x²*(1+\frac{3}{x²} }{x*1} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{x*(1+\frac{3}{x²} }{1} \end{eqnarray*}$

nun soll es einmal gegen unendlich und einmal gegen - unendlich laufen gelassen werden.

bei unendlich wird ja oben das x zu unendlich und das in der klammer zu 0, richtig?

bei -unendlich zu minues unendlich und zu 0...aber was ist dann das komplettergbnis was da rauskommt?
einmal unendlich und einmal - unendlich?

19.01.2011, 19:19

baphomet

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, das ist alles, einmal ins positive und einma ins negative Unendliche

19.01.2011, 20:06

Betty2

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im Post von Equester, Gestern, 18:26, hast sich ein fehler eingeschlichen soweit ich das nachvollziehen kann....er schreibt was von 4/x² im zähler, müsste es nicht 4/x heißen?

19.01.2011, 20:18

Equester

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Nein, ich klammere doch x³ aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dann bleibt x² im Nenner (Des Zählers ;P )
(Das war doch da, wo ich gleich mit dem x des Nenner gekürzt hatte Augenzwinkern

Augenzwinkern

)
Sonst hättest du recht!

Verstanden?

19.01.2011, 20:25

Betty2

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, versteh ich nicht. gegeben: x³+4x²

Gestern, 18:30 dein post:

x³ (1+ 4/x²)

das müsste doch heißenx³ * (1 + 4/x)

19.01.2011, 20:28

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Equester
Ich erlaube mir mal, dir zu antworten Augenzwinkern

Augenzwinkern

das macht man eben mit den als leztes übrig gebliebenen x-werten und sieht dann ob sie entweder ins unendliche hoch gehen oder immer kleiner werden...ist das richtig?

Ja genau. Nimm aber meinen verbesserten Vorschlag von geischtli Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x)= \lim_{x \to \infty } \frac{x²(1+\frac{4}{x²})}{(1+\frac{4}{x})} \end{eqnarray*}$

Wie sieht es hier dann aus?

(Ich habe schon mit x gekürzt!)

Schau nochmals genau hin. Es steht vor der Klammer ein x² Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } f(x)= \lim_{x \to \infty } \frac{x³(1+\frac{4}{x²})}{x(1+\frac{4}{x})} = \lim_{x \to \infty } \frac{x²(1+\frac{4}{x²})}{(1+\frac{4}{x})} \end{eqnarray*}$

Ich habs dir mal mit Zwischenschritt hingeschrieben. Hoffe es ist so verständlicher.

Übrigens, kannst du beim Post rechts oben auf "Zitat" klicken Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.01.2011, 20:37

Betty2

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn man es so sieht: ich klammer x³ aus. habe 4x² gegeben

=

4* x * x / x* x* x*

kürzt sich weg bis auuf 4/x

wie kommst du da bitte auf 4/x²

19.01.2011, 20:47

Equester

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Du hast natürlich recht Finger1

Finger1

Sehr gut

Freude

Wollt dich nur testen Big Laugh

Big Laugh

20.01.2011, 20:44

Betty2

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sehr gut hehe

heute gings weiter in der schule, mit den grenzwerten für die definitionsmenge...

also z.b. $\begin{eqnarray*} \frac{-3x}{3-x} \end{eqnarray*}$

da die definitionsmenge ja alle realen zahlen ohne die 3 macht man da ja zum einen x -> 3 mit x > 3 und einmal mit x < 3

ist mir auch soweit klar....bei x > 3 setz ich eben einmal oben 3,2 ein, einmal 3,1 und notiere mir dann das ergebnis und sehe dann wohin es läuft. beim beispiel ja gegen -0 oben und 0- unten.

das ergebnis des ganzen terms ist unendlich

aber warum?

20.01.2011, 20:48

Equester

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Für positives 3 (3+) geht es gegen +unendlich.
Nicht aber für negatives unendlich Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hmm...x/(fast 0) geht gegen unendlich für x= endliche Zahl.

Probiers mal aus.

1/1=1
1/0,1=10
1/0,00001=100000

etc Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.01.2011, 20:54

Betty2

Auf diesen Beitrag antworten »

wie ist es dann bei 2x²-7x+6 (ist jetzt nur mal der zähler)

der nenner war x - 2 demnach ist 2 der wert den wir uns anschauen

x - > 2 x> 2

da ist es ja dann so das ich einmal das x² ausrechne und dann das 7x und schau wo hin die gehen oder rechne ich da den kompletten zähler auf einmal aus und schau wo der hingeht?

20.01.2011, 20:58

Equester

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Hihi, weder noch

Der Zähler ist $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ 0 (das musste überprüfen), dann ist er egal.
Er ist ja dann endlich! a/~0=>unendlich

a ist irgendeine endliche Zahl. Von mir aus auch 5000000000000

20.01.2011, 21:01

Betty2

Auf diesen Beitrag antworten »

das versteh ich jetzt nicht ganz. soweit sind wir denk ich noch nicht...wie meinst du das mti dem zähler ist nicht gleich 0?

20.01.2011, 21:06

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja wenn der Zähler auch fast 0 ist. Ist es nicht mehr so einfach mit dem
unendlich und nicht unendlich (das lernt ihr aber auch noch^^ ist auch wichtig).
Ist also der Zähler irgendeine Zahl, außer 0, dann kannst du meinen Tipp nehmen
-> gegen unendlich (+ oder -)

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