Integrationsreihenfolge Doppelintegral vertauschen |
| 18.01.2011, 19:26 | rwerle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Integrationsreihenfolge Doppelintegral vertauschen Hallo, ich sitze an einer Aufgabe und weiß nicht genau was zu tun ist: Vertauschen sie die Integrationsreihenfolge im Doppelintegral: wobei f(x,y) eine beliebige integrierbare Funktion ist. PS: Das "-2x" gehört noch oben zur 3: Also inneres Intergral von 1 bis 3-2x Meine Ideen: Wie muss ich vorgehen? Einfach dydx durch dxdy tauschen? (also praktisch zuerst nach x dann nach y integrieren??) Danke & Gruß |
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| 18.01.2011, 20:09 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Integrationsreihenfolge Doppelintegral vertauschen Hallo! Zeichne den Integrationsbereich auf und guck dir die Grenzen dann aus. Grüße Abakus 
PS: mit {....} kannst du in Latex die Integrationsgrenze oben darstellen |
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| 18.01.2011, 20:26 | rwerle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, na die Grenzen hab ich ja von "0 bis 1" und von "1 bis 3-2x" oder!? |
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| 18.01.2011, 20:39 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, hast du. Doch wenn die Integrationsreihenfolge vertauscht wird, sieht das ggf. schon anders aus: nur einfach vertauschen geht nicht, wenn du "schiefe" Grenzen hast; also zeichnen und ausgucken. Grüße Abakus
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| 18.01.2011, 22:40 | rwerle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
wie das Doppelintegral mit den Grenzen aussieht weiß ich.. kann es jetzt schlecht zeichnen.. ich weiß nur nicht wie das neue (vertauschte) aussehen soll?! |
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| 19.01.2011, 10:25 | rwerle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hat vielleicht Jemand ein verständliches Beispiel bzw. einen Link? |
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| 19.01.2011, 14:16 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wo ist das Problem? Zeichne ein handelsübliches kartesisches Koordinatensystem mit einer x- und einer y-Achse. Markiere jetzt auf der x-Achse die Grenzen der äußeren Integration. Das ist ja die Integration über x. Jetzt nimm einen beliebigen Wert von x auf der x-Achse innerhalb dieser Grenzen und denke dir dort eine Senkrechte zur x-Achse. Markiere auf dieser Senkrechten die untere und die obere Grenze der inneren Integration über y, nämlich y = 1 und y = 3 - 2x. Mache das für alle x-Werte innerhalb des Integrationsbereichs für x. Das mag unmöglich erscheinen, weil die Menge der x-Werte ja überabzählbar ist. Die Grenzen sind aber Geraden. Und aus ungeklärten Gründen beherrscht es fast jeder Schüler, Geraden zu zeichnen. Wie auch immer, jetzt hast du dein Integrationsgebiet, ein Dreieck.
Das Integrationsgebiet ändert sich durch die Änderung der Integrationsreihenfolge überhaupt nicht. Du musst unverändert über dasselbe Dreieck integrieren. Die äußere Integration soll jetzt über y gehen. Also markiere die untere und die obere Grenze des Dreiecks auf der y-Achse. Das sind jetzt die Grenzen für die äußere Integration. Nun markiere innerhalb dieser Grenzen einen beliebigen Punkt auf der y-Achse. Denke dir dort eine Senkrechte zur y-Achse, also eine waagrechte Gerade. Der linke Schnittpunkt dieser Geraden mit dem Rand des Dreiecks ist jetzt die untere Grenze der inneren Integration und der rechte Schnittpunkt ergibt die obere Grenze. Tut mir Leid, wenn das nach einer Anleitung für Dummies ausschaut. Es ist nicht böse gemeint. Meine Erfahrung zeigt, dass eine solche anschauliche Vorstellung des Prinzips häufig nicht vorhanden ist. |
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| 19.01.2011, 21:47 | rwerle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, ich meinte mit nicht zeichen hier im Forum. :-) So kann ich mir die Funktion schon vorstellen. So ist sie anfangs: Wenn ich nun die Integrationsgrenzen vertauschen möchte sieht es dann so aus? |
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| 19.01.2011, 22:04 | rwerle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also meine Lösungsansatz unten ist falsch... da ich im inneren Integral 3-2x habe.. somit hätte ich x da stehen wenn ich das äußere nach y anwende. :-( Also, was muss ich tun!? Stehe grad auf dem Schlauch... vielleicht nach x auflösen? Also x=3-y /2 oder so ähnlich!? 
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| 19.01.2011, 22:29 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich kann dir nur noch mal raten, male es dir auf. Und lies dann noch mal, was ich geschrieben habe. Selbstverständlich können die Grenzen des inneren Integrals bei der geänderten Reihenfolge höchstens von x abhängen, nicht aber von y. |
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| 19.01.2011, 22:45 | rwerle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry, verstehe ich gerade garnicht. Könntest du mir das entstandene Doppelintegral mit den jeweiligen Grenzen einmal aufzeichnen? " Denke dir dort eine Senkrechte zur y-Achse, also eine waagrechte Gerade." Müsste es nicht Senkrechte zur Y-Achse heißen? Hab es aufgemalt... momentan geht der Integrationsbereich ja von 0 bis 1 (X-Achse) und von 1bis3-2x (also schnittpunkt waagerechte und der Funktion f(x) ) |
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| 20.01.2011, 09:17 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du warst doch schon auf dem richtigen Weg. Die Grenzen des äußeren Integrals stimmten. Bei der oberen Grenze des inneren Integrals muss die Grenzgerade in die Form x = ... gebracht werden. Dein Ergebnis war vielleicht richtig gemeint, aber falsch hingeschrieben (fehlende Klammern). Unerklärlich ist mit aber, wenn du dir das wirklich aufgemalt hast, wie du auf 1 als untere Grenze des inneren Integrals kommst. In dem folgenden Bild sind die Integrationsbereiche in der ursprünglichen Reihenfolge blau und in der geänderten Reihenfolge grün gekennzeichnet. |
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| 20.01.2011, 10:19 | rwerle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, danke für deine Unterstützung. Na dann kann der innere Integrationsbereich ja nur von 0 bis (3-y) / 2 sein!? Von der Wahl gehe ich ja so vor wir beim Urspungsintegral. Glaube ich hatte einen Denkfehler. Denn die 1-3 ist ja schon im äußeren Integral.. deshalb kann das Innere nicht von 1 bis (3-y) /2 sein!? Demnach müsste ich die Integrationsgrenzen so wählen: Puh... diese Doppelintegrale machen mich ganz durcheinander.. :-( |
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| 20.01.2011, 10:33 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig! Der waagrechte grüne Pfeil beginnt auf der y-Achse und da ist x = 0.
Richtig! Der Integrand ist zwar nicht x, sondern f(x,y). Aber das verbuche ich mal als Schreibfehler.
Dazu besteht kein Anlass. Wenn man das ein paar mal gemacht hat, ist es einfach. Aber auch erfahrene Doppelintegrierer machen sich fast immer eine Skizze. |
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| 20.01.2011, 10:46 | rwerle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Super, ja es ist eines der letzten Themen zur Klausur.. darum bin ich noch nicht so fit drin. Aber ich müsste es jetzt verstanden haben.. hab viel zu kompliziert gedacht. Ok... f(x,y) dxdy schreibe ich nur, wenn die Integrationsreihenfolge vertauscht wird? Die Klausuraufgabe davor lautet nämlich genau so: Berechnen Sie das Doppelintegral Hat der Prof. bestimmt nen Fehler in der Klausuraufgabe.... nana.. ;-) Danke & Gruß |
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| 20.01.2011, 11:13 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein! Der Integrand ändert sich durch die Änderung der Integrationsreihenfolge überhaupt nicht. Wenn der Integrand ursprünglich x war, dann bleibt er x. Ganz zu Anfang hast du aber f(x, y) geschrieben. Wenn das richtig war, bleibt es bei f(x, y), unabhängig von der Integrationsreihenfolge. |
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| 20.01.2011, 12:25 | rwerle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, in meinem 1. Post war es nicht korrekt. Wie gesagt die Aufgabe Teil a) Berechnen Sie das Doppelintegral I1= Aufgabe b) Vertauschen Sie die Integrationsreihenfolge im Doppelintegral I2= wobei f(x,y) eine beliebige integrierbare Funktion ist. Das ist die genaue Aufgabenstellung! Also kann ich doch beliebig wählen? z.B. x? |
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| 20.01.2011, 13:53 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bei a) sollst du ja nur das Doppelintegral berechnen. Das kannst du in der angegebenen Integrationsreihenfolge machen. Du kannst aber auch vorher die Integrationsreihenfolge ändern. Dann ändern sich Grenzen wie besprochen. Der Integrand bleibt x. Bei b) kannst du nichts konkret berechnen, weil der Integrand nur allgemein als Funktion dasteht. Die Änderung der Integrationsreihenfolge kannst du wie besprochen durchführen. Der Integrand bleibt dabei unverändert f(x, y). Man sollte immer die Aufgabenstellung vollständig und korrekt angeben. Dann erübrigen sich solche Diskussionen. |
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