Lineare Unabhängigkeit von Matrixpotenzen zeigen

18.01.2011, 18:56	_-Alex-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit von Matrixpotenzen zeigen Hi, ich habe nicht so richtig eine Ahnung von wo ich folgende Aufgabe angehen soll: Sei $\begin{eqnarray} A \in \mathbb{R}^{n,n} \end{eqnarray}$ . Zeigen sie, dass ein $\begin{eqnarray} m \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ existiert, so dass gilt: a) $\begin{eqnarray} (1 , A, A^2,\dots, A^{m-1} ) \end{eqnarray}$ ist linear unabhängig. b) $\begin{eqnarray} A^m \in span( 1, A, A^2, \dots, A^{m-1} ) \end{eqnarray}$ Wobei meine 1 die Einheitsmatrix sein soll. Ich weiß bei der Aufgabe nicht so ganz, wie ich das zeigen kann. Ich mein, irgendwas berechnen ist ja ewig umständlich mit der Matrixmultiplikation. Ich hab schon überlegt, dass ich der Matrix eine Abbildung zuordne, aber kp ... Habt ihr einen Tipp? MfG
19.01.2011, 09:16	_-Alex-_	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat keiner einen Hinweis?
19.01.2011, 11:41	turbojunge	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Einheitsmatrix, die Matrix A sowie alle Potenzen von A liegen in einem endlichdimensionalen Vektorraum.
19.01.2011, 11:59	ThomasL	Auf diesen Beitrag antworten »
meinst du bei a) wirklich linear unabhängig ?
19.01.2011, 12:09	turbojunge	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke schon, dass er das meint, sonst würde die Aufgabe meiner Meinung nach nicht viel Sinn ergeben. Man soll zeigen, dass es ein m gibt, so dass die ersten m-1 Potenzen von A linear unabhängig sind, die ersten m Potenzen jedoch nicht mehr.

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