Geordnete Basis bzgl. Matrix bestimmen

18.01.2011, 20:23

obiwan87

Geordnete Basis bzgl. Matrix bestimmen

Meine Frage:
Hallo.
Folgende Aufgabenstellung:

Es seien
$\begin{eqnarray*} <br /> A := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

eine Matrix und $\begin{eqnarray*} \phi: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^3, x \rightarrow Ax \end{eqnarray*}$ . Finden sie geordnete Basen $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_4 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_1,w_2,w_3 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} (v_j) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (w_k) \end{eqnarray*}$ die Abbildungsmatrix
$\begin{eqnarray*} <br /> B_\phi := \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$
hat.

Was will diese Aufgabe von mir? Bzw. welche Information soll mir A liefern und wie kann ich diese verwenden um die neuen Basisvektoren zu bestimmen? Ich möchte nicht die Lösung vorgerechnet haben. Sondern lediglich einen Tipp.

Meine Ideen:
Ich habe versucht $\begin{eqnarray*} Ax \end{eqnarray*}$ mit einer Matrix $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren, so dass $\begin{eqnarray*} M A x=B_\phi x \end{eqnarray*}$ . Doch ich hab das Gefühl (die Gewissheit), dass das falsch ist.
Ich weiß, dass die j-te Spalte der einer Abbildungsmatrix jeweils die Koordinaten von $\begin{eqnarray*} \phi(v_j), v_j \in B_\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ (B sei Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray*}$ ). Doch das bringt mich nicht weiter.

18.01.2011, 20:41

tigerbine

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RE: Geordnete Basis bzgl. Matrix bestimmen
Wir kennen 2 Darstellungen einer lin. Abbildung hier. A ist bzgl. der Standardeinheitsbasis gegeben. Nun suchen wir 2 neue Basen, bzgl. derer die Abbildung die Matrix B hat.

[Artikel] Basiswechsel

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12:	in. Abb. zwischen V->W eingeben M1 B1 ----------> B1 /\ /\ \| \| V S T W \| \| \| \| B2 ----------> B2 M2

Wir suchen S und T, bzw die beiden B1 oder B2.

19.01.2011, 07:16

obiwan87

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RE: Geordnete Basis bzgl. Matrix bestimmen
Danke für deine Antwort. Es wird schon etwas klarer. Aber woher weißt du, dass A bzgl. der Standardeinheitsbasis gegebn ist?

Außerdem noch eine begriffliche Frage: Wird A hier eine Abbildungsmatrix genannt?
Danke smile

19.01.2011, 10:50

tigerbine

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RE: Geordnete Basis bzgl. Matrix bestimmen
WEnn nichts dasteht, ist dann die immer die "Annahme". Denn ohne Basis auch keine Matrix. Du kannst A so nennen.

20.01.2011, 14:17

Simonerd

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Ok, jetzt weiß ich schon mal, was diese Aufgabe überhaupt fordert.

Wir sollen 2 Basen angeben, so dass die Matrix B multipliziert mit Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{4} \end{eqnarray*}$ , die beschrieben werden über unsere Basis (v1,...,v4),
genauso abgebildet werden wie als würden wir sie als Vektoren, die über die Standardbasis beschrieben werden mit A multiplizieren?

Aber wo genau tritt da unsere Basis (w1,w2,w3) auf den Plan? Der ausgegebene Vektor wird über sie beschrieben, aber wie zeichnet sich das beispielsweise in B ab?

Wie sollte man generell vorgehen? Wäre schön, wenn jemand ein ähnliches Beispiel angeben könnte.

20.01.2011, 14:44

Gosslot

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gleiches problem...

20.01.2011, 16:50

tigerbine

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Na, zu dritt werdet ihr das doch packen. Tipp: Wie sieht z.B. der Kern von A aus?

21.01.2011, 09:24

Simonerd

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Zitat:

Original von tigerbine
Na, zu dritt werdet ihr das doch packen. Tipp: Wie sieht z.B. der Kern von A aus?

Der Kern von A ist $\begin{eqnarray*} Kern(\phi) = \left[\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \right] \end{eqnarray*}$ .

Und jetzt?!

21.01.2011, 10:32

tigerbine

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Was ist dann wohl der erste Vektor der zweiten Basis? Denn dieser Vektor muss ja laut neuer Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden.

21.01.2011, 10:39

Simonerd

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Zitat:

Original von tigerbine
Was ist dann wohl der erste Vektor der zweiten Basis? Denn dieser Vektor muss ja laut neuer Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden.

(-1, 1, -1, 1), oder? Aber der zweite? Das ganze Prinzip ist mir völlig rätselhaft.

21.01.2011, 12:33

tigerbine

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Ich löse nun nicht die Aufgabe für euch. Ich sehe hier 3 Leute und keine eigenen Ideen. verwirrt

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