horizontaler Wurf mit Seitenwind

19.01.2011, 01:42

Alberich

horizontaler Wurf mit Seitenwind

Hallo zusammen!
Da ich neu hier im Forum bin möchte ich mich erstmal vorstellen. Mein Name ist Martin, ich bin 24 Jahre alt und studiere Physik.
Und wie es sich für einen angehenden Physiker gehört haperts mit der Mathematik. Hammer

Es geht um die Lösung der Differentialgleichungen welche den Einfluß von Wind auf einen geworfenen Körper beschreiben.
Genauer: es handelt sich den Anfangsbedingungen nach um einen horizontalen Wurf aus einer bestimmten Höhe mit einer bestimmten Anfangsgeschwindigkeit in X-Richtung.
Auf den Körper wirkt nun neben der Erdanziehung noch die Luftreibung sowie ein senkrecht zur Abwurfrichtung herrschender Seitenwind.
Die verzögernde Kraft durch die Luftreibung wird durch F=-kv^2 (newtonsche Reibung) beschrieben.

Mein Ansatz soweit:

X) m*dx'/dt = -k*(Vx)^2
Y) m*dy'/dt = k*(Vwind-Vy)^2
Z) m*dz'/dt = -m*g + k*(Vz)^2

In X-Richtung (der Wurfrichtung) wirkt nur die verzögernde Luftreibung.
In Z-Richtung wirkt die nach unten beschleunigende Erdanziehung sowie die verzögernde Luftreibung.
In Y-Richtung wirkt der Seitenwind durch Luftreibung beschleunigend solange die Geschwindigkeit in Y-Richtung Vy noch kleiner als die (konstante) Windgeschwindigkeit Vwind ist. Verzögerung durch Luftreibung vernachlässige ich hier da die Geschwindigkeit des Körpers in y-Richtung über die Fallzeit klein bleibt.

Die Lösung der X- und Z-Komponenten durch Variablenseparation war kein Problem, die Lösung der Gleichung für die y-Richtung macht mir aber Kopfschmerzen. Das Problem ist die Differenz von Körpergeschwindigkeit in y-Richtung und Windgeschwindigkeit. Vielleicht sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht...
Erste Idee war der Ansatz dass nach t=unendlich Vy = Vwind ist und damit m*dy'/dt = 0 wird...

Ich würde mich freuen wenn jemand eine Idee zur Lösung dieser einen DGL hat.

LG Martin

19.01.2011, 02:11

gonnabphd

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,

Was hält dich denn davon ab, einfach den Separationsansatz zu benutzen?

$\begin{eqnarray*} m\frac{dy'}{dt} = k(V_{Wind}-y')^2 \end{eqnarray*}$

führt zu

$\begin{eqnarray*} \frac{dy'/dt}{(V_{Wind}-y')^2} = \frac k m \end{eqnarray*}$

Gruss Wink

ps.: Bitte versuch nächstes Mal $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ zu benutzen. Sieht viel schöner aus und nicht alle Mathematiker mögen Kryptographie. Augenzwinkern

Dazu der Verweis auf den Formeleditor, es gibt auch Threads in denen die Basics erklärt werden.

19.01.2011, 03:11

Alberich

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Danke für den Hinweis auf den Formeleditor. Latex ist zwar neu für mich, aber ich wills versuchen.

Zitat:

Original von gonnabphd
$\begin{eqnarray*} m\frac{dy'}{dt} = k(V_{Wind}-y')^2 \end{eqnarray*}$

führt zu

$\begin{eqnarray*} \frac{dy'/dt}{(V_{Wind}-y')^2} = \frac k m \end{eqnarray*}$

und dann weiter zur Integration:

$\begin{eqnarray*} \int_0^V \! \frac{1}{(V_{Wind}- y')^2} \, dy' = \frac{k}{m} \int_0^t \! \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^V \! \frac{1}{y'^2-2V_{Wind}y'+V_{Wind}^2} \, dy' = \frac{k}{m} \int_0^t \! \, dt \end{eqnarray*}$

Nach Bronstein, Taschenbuch der Mathematik, ist das ein Integral vom Typ

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{ax^2+bx+c} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \wedge = 4ac-b^2 \end{eqnarray*}$

In unserem Integral sind:
$\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = -2V_{Wind} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c = V_{Wind}^2 \end{eqnarray*}$

Damit wird
$\begin{eqnarray*} \wedge = 0 \end{eqnarray*}$

Eine Lösung wird aber nur für
$\begin{eqnarray*} \wedge > 0 \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} \wedge < 0 \end{eqnarray*}$
angeboten.

Das Problem ist wohl dass der Integrand an der oberen Integrationsgrenze nicht definiert ist...

Mal schauen ob es mit einer Substitution für $\begin{eqnarray*} (V_{Wind}-y') \end{eqnarray*}$ weitergeht. Nicht zu fassen, irgendwie steh ich heut aufm Schlauch.
Wird langsam Zeit für die Koje, morgen gehts bestimmt besser. Schläfer

19.01.2011, 16:45

Alberich

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Ach du meine Güte! Das passiert wenn man spät Nachts noch am Schreibtisch hockt...

Die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(y')=\frac{1}{(V_{Wind}-y')^2} \end{eqnarray*}$

hat natürlich die Stammfunktion

$\begin{eqnarray*} F(y')=\frac{1}{V_{Wind}-y'} \end{eqnarray*}$

Sieht man eigentlich schon durch "mal scharf angucken"...

19.01.2011, 21:10

gonnabphd

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Si.

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