Iteratives Newton-Verfahren Konvergenz bestimmen

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DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »
Iteratives Newton-Verfahren Konvergenz bestimmen
Aufgabe:



Zur Berechnung soll die Division nicht verwendet werden.

a) Wie lautet die Vorschrift?

b) für welche Startwerte kovergiert das Verfahren

c) für welche Startwerte konvergiert das Verfahren Quadratisch

Meine Ideen:

a) hier habe ich umgeformt , dann noch x = z und damit dann:




b) hier bin ich mir nicht sicher wie man das formal macht, oder wie man das begründet. Hier ist mir eben aufgefallen, dass es nur für startwerte x konvergiert welche zwischen den Nullstellen von

Damit gilt, dass es konvergiert wenn der Startwert

c) hier komme ich nicht wirklich auf einen grünen zweig, ich weiß das für quadratische konvergenz gilt:



müsste ich dann nur folgendes Rechnen?



und hier dann für setzen und eben auch ersetzen und dann schauen ob x für plus minus unendlich konvergiert und es pol stellen gibt an denen es dann divergiert?

ich hatte das schon probiert nur irgendwie kommt bei mir da nix gescheites raus, jedenfalls kann ich es per hand nicht gut auflösen, deshalb wollte ich mal fragen ob das überhaupt der richtige weg ist?

Gruß
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

für die c) habe ich noch etwas gefunden, wird hatten in der Vorlesung einen Satz. Dass wenn 2-Mal stetig diff'bar ist, und
mit x* (die gesucht Nullstelle.

Dann konvergiert die Funktion Quadratisch.

Habe ich nun richtig verstanden, dass die Aussage über die konvergenz. Also Linear Quadratisch oder p-Ordnung, nur damit zusammenhängt wie schnell es gegen die gesucht nullstelle konvergiert und man daraus nicht schließen kann für welche x_0 es konvergiert?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Iteratives Newton-Verfahren Konvergenz bestimmen
Zitat:
Zur Berechnung soll die Division nicht verwendet werden.


Berechnung von was?
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

So stand es in der Aufgabe. Ich habe es so interpretiert, dass in der iterationsvorschrift keine Division vorkommen soll.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das war nicht meine Frage. Augenzwinkern Was soll ohne Division berechnet werden? Augenzwinkern Gegeben ist ein imho ein a ungleich Null. Man soll - mittels geeigneter Fkt und Newton - 1/a berechnen?

edit:
Es scheint so zu sein. 7.10. Damit sollte dann (a) erledigt sein, da in der ausgerechneten Vorschrift keine Division mehr auftritt. Zum Rest findest du hier etwas.

(b) Erst mal die Theorie überlegen, warum es eine Umgebung gibt, so dass das Verfahren konvergiert.
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort,...

zu (b)

also ich muss ein Intervall finden auf dem meine Iterationsvorschrift eine kontrahierende Abbildung ist und dann konvergiert die Vorschrift für alle x in diesem Intervall

das bedeutet ja

also:



jetzt will ich wissen für welche x gilt:







ist dass richtig für die Startwerte ? So habe ich es mit der kontraktion verstanden, denn damit kann man garantieren, dass die Iteration auch gegen den gesuchten Fixpunkt konvergiert. F(x) = x
 
 
DerJFK Auf diesen Beitrag antworten »

also ich weiß eigentlich schon aus der grafik dass das intervall eigentlich



sein sollte. Was mich aber wundert ist eben, warum dann für die Kontraktion was anderes raus kommt?

liegt es daran, dass es 2 Fixpunkte gibt in phi gibt ?!

bin da grad einfach verwirrt,... unglücklich
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