Vektorraum aller Folgen / injektiv, surjektiv

19.01.2011, 11:05

Peterchen

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Vektorraum aller Folgen / injektiv, surjektiv

Hallo,

Sei $\begin{eqnarray*} V = \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum aller Folgen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Sei die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V \to V \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} x = (x^i) \mapsto (0, x^0, x^1, x^2,...) \end{eqnarray*}$

Ich muss zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv aber nicht surjektiv ist und ein Beispiel für eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V \to V \end{eqnarray*}$ angeben, die surjektiv aber nicht injektiv ist.

Meine Ideen:

Zunächst die Definition der Injektivität:

Seien $\begin{eqnarray*} x,y \in V \end{eqnarray*}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray*} (f(x)=f(y) \Rightarrow x = y) \end{eqnarray*}$

Dass f: V \to V ist, verwirrt mich etwas.
Wie setze ich am besten an? Mit einem direkten Beweis oder mit einem Widerspruchsbeweis?

Oft fängt man ja so an:

Seien $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x_1)=f(x_2) \end{eqnarray*}$ . Aber wiwe folgert man dann bei einer Folge weiter?

Und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert. Dann hat $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ doch kein Urbild, oder?!

Danke im Voraus. smile

smile

19.01.2011, 11:35

Mazze

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Für lineare Abbildungen kannst Du die injektivität auch anders nachweisen. Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn nur die Null auf die Null abgebildet wird. Sprich, wenn Du

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \end{eqnarray*}$

zeigen kannst, bist Du fertig. Und das ist nahezu trivial. Bedenke das f(x) = 0 hier bedeutet, dass das Bild der Folge x die Folge ist, die überall 0 zu stehen hat.

19.01.2011, 11:59

Peterchen

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Danke.

Folgt das daraus, dass eine lin. Abb. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau dann injektiv ist, wenn $\begin{eqnarray*} ker(f)={0} \end{eqnarray*}$ ?

Vlt. habt ich das mit der Funktion der Folgenau ach einfach nicht richtig verstanden.

Bedeutet $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 0 = (0^i) \mapsto (0, 0^0, 0^1, 0^2,...) \end{eqnarray*}$ ?

Für mich sieht das leider nicht so trivial aus, wie für dich. Ich denke, dass mir deine Erklärung schon klar ist, allerdings liegt das Problem wahrsch. mitunter auch in der gegebenen Funktion.
Ich bin es bis jetzt gewohnt gewesen, eine Funktion z.B. in dieser Form geliefert zu bekommen: x+2...dann läuft ein Injektionsbeweis so ab, dass man $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ nimmt und einsetzt: $\begin{eqnarray*} x_1+2=x_2+2 \end{eqnarray*}$ und daraus dann folgert, dass $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ ...das ist natürlich vorgehen nach Schema; und das scheint hier nicht zu funktionieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Insofern weiß ich jetzt auch gar nicht, wie ich nach $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \end{eqnarray*}$ am besten ansetze.

Danke nochmal. smile

smile

19.01.2011, 12:12

Mazze

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Zitat:

Folgt das daraus, dass eine lin. Abb. $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ genau dann injektiv ist, wenn $\begin{eqnarray*} ker(f)={0} \end{eqnarray*}$ ?

Das ist exakt das selbe was ich geschrieben hab, also ja.

Ansonsten scheinst Du ein Problem mit dem zu haben, was da hingeschrieben wurde. Ist x eine Folge, so bezeichnet ihr offenbar das erste Folgenglied mit $\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$ , das zweite mit $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ usw. Das ist zwar recht ungewöhnlich, hab ich aber auch schon so gesehen. Sprich, hast Du die Folge

(1,2,3,4,5,6,7,...) , dann ist

$\begin{eqnarray*} x^1 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2 = 2 \end{eqnarray*}$
usw.

Wenn Du jetzt f(x) = 0 hast, heißt das

$\begin{eqnarray*} f( (x^1,x^2,x^3,...,) ) = (0,0,0,...) \end{eqnarray*}$

setze jetzt für die Funktionsdefinition ein, dann stehts im Prinzip schon da.

19.01.2011, 12:27

Peterchen

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Ah, jetzt leuchtet die Vorschrift ein. Danke. smile

smile

Das $\begin{eqnarray*} f( (x^1,x^2,x^3,...,) ) = (0,0,0,...) \end{eqnarray*}$ ist mir auch klar.

In die Funktionsdefinition einsetzen...meinst du damit, dass:

$\begin{eqnarray*} f( (x^1,x^2,x^3,...,) ) = (0^1,0^2,0^3,...) \end{eqnarray*}$ bzw., dass $\begin{eqnarray*} x^1=0, x^2=0,... \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} 0=x^1=x^2=x^3=... \end{eqnarray*}$ und dann eben $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ?

19.01.2011, 13:09

Mazze

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Die Funktionsdefinition von f hast Du doch im ersten Post bereits gepostet :

$\begin{eqnarray*} f((x^1,x^2,...,) ) = (0,x^1,x^2,x^3,... ) \end{eqnarray*}$

Damit steht dann natürlich

$\begin{eqnarray*} (0,x^1,x^2,x^3,... ) = (0,0,....,) \end{eqnarray*}$

da, was x = 0 bedeutet.

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19.01.2011, 13:21

Peterchen

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Ok, also:

Da f eine lineare Abbildung ist, muss man für die Injektivität zeigen, dass: $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \end{eqnarray*}$ .

Da $\begin{eqnarray*} x = (x^i) \mapsto (0, x^0, x^1, x^2,...) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (0,x^1,x^2,x^3,... ) = (0,0,0....,) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

Kann es sein, dass du einen Beitrag von dir gelöscht hast?!

Bzgl. der (nicht-)Surjektivität von f müsste es reichen, wenn ich ein Gegenbeispiel angebe. Dazu müsste ich dann ein Element der Bildmenge angeben, das kein Urbild besitzt.
Ich hatte zuerst eigentlich angenommen, dass die Funktion bijektiv ist.

Oder geht es in diesem Fall anders leichter?

19.01.2011, 13:43

Mazze

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Ich hatte deinen Beitrag nicht genau genug gelesen, Du hast richtig geschlussfolgert, aber falsch begonnen. Was die Surjektivität angeht, deine Funktion f bildet jede Folge auf eine Folge ab, dessen erstes Folgenglied gleich 0 ist. Welche Folgen werden also garantiert nicht getroffen?

19.01.2011, 19:52

Peterchen

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Ok, aber so wie es in meinem letzten Post steht ist es korrekt?

Dann werden alle Folgen, deren erstes Glied ungleich 0 ist nicht getroffen. Dann wäre doch $\begin{eqnarray*} (1,2,3,4,5,6,7,...) \end{eqnarray*}$ ein Gegenbeispiel?! verwirrt

verwirrt

19.01.2011, 22:50

Mazze

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Richtig! Aber wenn Du Fragezeichen verwendest, scheinst Du die Funktion noch nicht ganz verstanden zu haben?

20.01.2011, 09:47

Peterchen

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Naja, ich war mir nicht ganz sicher.

Aber jetzt muss man noch ein Beispiel einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} f: V \to V \end{eqnarray*}$ angeben, die surjektiv aber nicht injektiv ist.
Vielleicht ist es ja möglich, diese Abbildung $\begin{eqnarray*} x = (x^i) \mapsto (0, x^0, x^1, x^2,...) \end{eqnarray*}$ so zu modifizieren, dass sie den Kriterien genügt. Dann müsste ich es ja verstanden haben.

$\begin{eqnarray*} x = (x^i) \mapsto (x^0, x^1, x^2,...) \end{eqnarray*}$ sollte bijektiv sein.

Was wäre eigentlich, wenn man bei $\begin{eqnarray*} (x^0, x^1, x^2,...) \end{eqnarray*}$ die "Indizes" als Hochzahlen ansehen würde? Dann wäre die Abbildung zumindest nicht injektiv.

20.01.2011, 09:59

Mazze

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Das Ding wäre aber nicht Surjektiv , da nur auf Folgen abgebildet wird, die als erstes Folgenglied 1 haben. Beschreibe mal in Worten, was die Funktion f eigentlich mit einer Folge macht. Die "Gegenoperation" davon ist nämlich genau ein Beispiel für den zweiten Teil der Aufgabe.

20.01.2011, 10:35

Peterchen

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Ok.

Also, ich dachte, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} x = (x^i) \mapsto (x^0, x^1, x^2,...) \end{eqnarray*}$ je nachdem, was man für f(x) einsetzt einfach diese Anzahl der Folgeglieder abbildet; und ich dachte, dass bei der Funktion $\begin{eqnarray*} x = (x^i) \mapsto (0, x^0, x^1, x^2,...) \end{eqnarray*}$
deshalb alle Folgen mit 0 beginnen, weil da ja als erstes Glied eine Null steht.

Insofern verstehe ich jetzt auch nicht ganz, wieso $\begin{eqnarray*} x = (x^i) \mapsto (x^0, x^1, x^2,...) \end{eqnarray*}$ nur auf Folgen, deren erstes Glied eine 1 ist, abbildet. Müsste die Funktion dann nicht $\begin{eqnarray*} x = (x^i) \mapsto (1, x^0, x^1, x^2,...) \end{eqnarray*}$ lauten?

20.01.2011, 10:37

Mazze

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Schulwissen, für alle Zahlen ist $\begin{eqnarray*} x^0 = 1 \end{eqnarray*}$ .

Zur Interpretation : Die Funktion f verschiebt die Folge x um eins nach rechts und füllt die "leere" Stelle mit 0 auf. Was wäre wohl die Gegenoperation zum Rechtsverschieben?

20.01.2011, 10:42

Peterchen

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Ich wusste nicht, dass das generell gilt. smile

smile

Bzgl. dem Rechtsverschieben:

Wäre dann bei $\begin{eqnarray*} x = (x^i) \mapsto (0, x^0, x^1, x^2,...) \end{eqnarray*}$ für f(x)=2 die Folge (0,0,0,1,2,3,4,...)?

Die Gegenoperation wäre dann ein Verschieben nach links.

Aber wie würde die Funktion dann aussehen?

$\begin{eqnarray*} x = (x^i) \mapsto (x^0, x^1, x^2,...,0) \end{eqnarray*}$ ? Da wäre dann nur das letzte Glied 0. verwirrt

verwirrt

20.01.2011, 10:45

Mazze

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Zitat:

Wäre dann bei $\begin{eqnarray*} x = (x^i) \mapsto (0, x^0, x^1, x^2,...) \end{eqnarray*}$ für f(x)=2 die Folge (0,0,0,1,2,3,4,...)?

Was soll hier f(x) = 2 bedeuten? Die Funktion f bildet Folgen auf Folgen ab, nicht Folgen auf Zahlen.

Was deine Linksverschiebung angeht :

Es gibt kein letztes Glied, also wird hinten auch nichts mit 0 aufgefüllt. Allerdings verschwindet das erste Glied (denn sonst würdest Du rein gar nichts machen).

20.01.2011, 11:23

Peterchen

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Naja, du hattest ja zuvor mal

Zitat:

Wenn Du jetzt f(x) = 0 hast, heißt das $\begin{eqnarray*} f( (x^1,x^2,x^3,...,) ) = (0,0,0,...) \end{eqnarray*}$

geschrieben. Deshalb dachte ich zuerst, man könnte da auch andere Werte einsetzen.

Zitat:

Es gibt kein letztes Glied, also wird hinten auch nichts mit 0 aufgefüllt.

Hammer

Ich Depp.

Aber wie drückt man diese Linksverschiebung denn formal aus? Ich muss ja eine konkrete Funktion angeben.

20.01.2011, 11:53

Mazze

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0 ist im Allgemeinen das Symbol des Nullvektors in einem Vektorraum. Wenn ich also bei Vektorräumen von Folgen von der 0 spreche, dann ist damit die Folge gemeint, die überall 0 ist.

Zitat:

Aber wie drückt man diese Linksverschiebung denn formal aus? Ich muss ja eine konkrete Funktion angeben.

Du hast doch die konkrete Funktion für die Rechtsverschiebung, wo ist das Problem das zu einer Linksverschiebung umzuschreiben? Wenn ich die Folge nach Links verschiebe, dann wandert das zweite Folgenglied an die position des ersten, das dirtte an die Position des zweiten, usw. Das muss nur aufgeschrieben werden.

21.01.2011, 11:12

Gäste

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Hallo,

ich habe eine kleine Frage,

im ersten Post schreibst du x \mapsto (0,X^0,X^1,...)

dann folgt aber für X=0 f(0)= (0,1,0,0,...)

denn 0^0 = 1

kann es dann überhaupt ein x geben für dass f(x) = (0,0,0,0,...) gilt?

21.01.2011, 11:30

Mazze

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Hättest Du die Beiträge ordentlich gelesen, dann wüsstest Du das hier mit

$\begin{eqnarray*} x^1 \end{eqnarray*}$

nicht die erste Potenz von x gemeint ist, sondern das erste Folgenglied der Folge x.

22.01.2011, 09:14

Peterchen

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Hallo Mazze,

entschuldige bitte, dass ich mich erst so spät wieder melde.

Mir ist nicht ganz klar, wo bei $\begin{eqnarray*} x = (x^i) \mapsto (0, x^0, x^1, x^2,...) \end{eqnarray*}$ die Rechtsverschiebung steckt.
Also ich weiß jetzt, dass diese Funktion auf Folgen abbildet, die mit einer 0 beginnen.
Bzw. sie verscheibt die Folgen nach rechts und füllt dann die leere Stele mit einer 0 auf.
Analog dazu müsste die gesuchte Funktion dann die Folgen nach links verschieben und die leere Stelle mit einer 0 auffüllen.

Ich hatte das dann zunächst so verstanden, dass dann "am Schluss" aufgefüllt wird, aber da es sich ja um unendliche Folgen handelt, geht das natürlich nicht.

Also rückt die 0 dann immer weiter nach rechts, wenn die Folge nach links verschoben wird?

22.01.2011, 10:11

Mazze

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Vergiss die Null, es gibt sie einfach nicht beim Linksverschieben. Und was meinst Du mit scheinbar?

Wenn Du die Folge

1,2,3,4,5,6,7.... hast und dann auf die Folge

0,1,2,3,4,5,6,7,...

abbildest, dann sind wohl die ursprünglichen Folgenglieder um 1 nach rechts gerückt. Allerdings entsteht dann eine Lücke (die beim Linksverschieben nicht entsteht) die wir irgendwie auffüllen müssen. Da wir eine lineare Abbildung haben wollen, ist 0 die einzige Möglichkeit aufzufüllen.

22.01.2011, 10:32

Peterchen

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Ok, aber wenn beim Linksverschieben dann keine Lücke entsteht und all einfach nach links verschoben werden, verändert sich doch eigentlich gar nichts.

Bzw. wenn alle Folgenglieder einer unendlich langen Folge um eine Stelle nach links verschoben werden, dann ist diese Veränderung so doch gar nicht ersichtlich.

Bei 1,2,3,4,5,6,7... auf 0,1,2,3,4,5,6,7,... sieht man die Veränderung ja, die die Funktionsvorschrift macht. Also ist mir auch nicht klar, was ich bei $\begin{eqnarray*} x = (x^i) \mapsto (0, x^0, x^1, x^2,...) \end{eqnarray*}$ abändern muss, um eine Funktion daraus zu machen, die die Folgenglieder nach links verschiebt.

22.01.2011, 12:53

Mazze

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Naja, um das ordentlich zu machen, muss man sich überlegen, was eine Folge eigentlich ist. Eine Folge ist eine Abbildung

$\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Sprich, jeder natürlichen Zahl (dem Index) wird eine reelle Zahl zugeordnet (das Folgenglied). Wenn Du eine Folge nach Links verschiebst, so ordnest Du jedem Index n das n+1-te Folgenglied zu. Sprich,

1,2,3,4,5,6,7,...

wird abgebildet auf

2,3,4,5,6,7,8,...

Das erste Folgenglied fällt also raus. Und diese Abbildung ist Surjektiv, aber nicht Injektiv, was Du natürlich noch zeigen musst.

24.01.2011, 08:40

Peterchen

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Also, dann ist $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{N} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} x_n \to (x_{n+1}, x_{n+2},...) \end{eqnarray*}$ ? Oder ist das falsch bzw. zu ungenau?

Wenn f surjektiv ist, dann muss es für jedes $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ geben, so dass $\begin{eqnarray*} f(a)=b \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn die Funktion jedem Index das n+1-te Folgenglied zuordnet, dann ist eigentlich klar, dass jedes jedes Element mindestens ein Urbild hat...der Vorgänger von n+1 ist ja, von n+2 ist es n+1 usw. !?
Die Frage ist dann allerdings auch noch, welche Folge denn mehr als ein Urbild hat...also, als Gegenbeispiel zur Injektivität.

24.01.2011, 11:29

Mazze

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Du solltest mal genauer lesen was ich schreibe. Eine Folge ist eine Abbildung

$\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Du untersuchst aber Abbildungen f, die Folgen auf Folgen abbilden, sprich :

$\begin{eqnarray*} f : \underbrace{ \left\{g : \mathbb{N} \to \mathbb{R}\right\}}_{=V} \to \underbrace{ \left\{g : \mathbb{N} \to \mathbb{R}\right\}}_{=V} \end{eqnarray*}$

Die Linksverschiebung ist dann Definiert als :

$\begin{eqnarray*} f : V \to V \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f(x))_n = x_{n+1} \end{eqnarray*}$ für alle n

oder in eurer Schreibweise :

$\begin{eqnarray*} (x^1,x^2,x^3 ,...,) \mapsto (x^2 ,x^3,x^4,...,) \end{eqnarray*}$

Wenn Du jetzt die Surjektivität von f untersuchst, so musst Du für jede Folge $\begin{eqnarray*} y \in V \end{eqnarray*}$ eine Folge $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ finden, so dass $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ gilt, was äquivalent zu $\begin{eqnarray*} (f(x))_n = y_n ~ \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist.

24.01.2011, 12:17

Peterchen

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Dann muss ich jetzt ein beliebiges $\begin{eqnarray*} y \in V \end{eqnarray*}$ wählen und zeigen, dass es dafür ein $\begin{eqnarray*} x \in V \end{eqnarray*}$ , also ein Urbild gibt, so dass $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} y_n \in V, n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Dann ist doch $\begin{eqnarray*} x_{n-1} \in V \end{eqnarray*}$ das Urbild von $\begin{eqnarray*} y_n \end{eqnarray*}$ .
Jedes $\begin{eqnarray*} y_n \in V \end{eqnarray*}$ muss ja einen Vorgänger bzw. eine Vorgänger-Folge haben, die um einen Schritt weniger nach links verschoben ist.

24.01.2011, 14:05

Mazze

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Du hast im Prinzip schon die richtige Idee. Aber bevor wir damit weiter machen, versuche genau darüber nachzudenken was Du schreibst. Was soll

$\begin{eqnarray*} x_{n-1} \in V \end{eqnarray*}$

bedeuten?

Besser :

Sei $\begin{eqnarray*} y = (y^1,y^2,y^3,...,) \in V \end{eqnarray*}$ eine Folge, dann ist für alle $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ die Folge $\begin{eqnarray*} x = (a,y^1,y^2,...,) \end{eqnarray*}$ ein Urbild von y bezüglich dem Linkshift (so nennt man diesen Operator). Sprich,

$\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$

Man kann aber auch den Rechtsshift Operator dafür benutzen. Es sei g der Rechtsshiftoperator wie im Aufgabenteil davor, dann ist

$\begin{eqnarray*} f(g(y)) = y \end{eqnarray*}$

und damit ist f Surjektiv, da g für alle Folgen y definiert ist smile

smile

. Verständnisfrage, gilt auch $\begin{eqnarray*} g(f(y)) = y \end{eqnarray*}$ ?

24.01.2011, 14:47

Peterchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Wenn $\begin{eqnarray*} x_n = (2,3,4,5,...) \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} x_{n-1} = (1,2,3,4,...) \end{eqnarray*}$
So war das zumindest gemeint. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Die Begriffe "Linksshift", "Rechtsshift" lese ich zum ersten Mal.

Zu $\begin{eqnarray*} g(f(y)) = y \end{eqnarray*}$ : bei einer linearen Abbildung sollte doch egal sein, ob $\begin{eqnarray*} g(f(y)) = y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(g(y)) = y \end{eqnarray*}$ .

Muss ich für das Gegenbeispiel bzgl. der Injektivität verwenden, dass $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{N} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ?
Es muss schließlich eine Folge geben, die wenigstens zwei Urbilder hat.

24.01.2011, 15:37

Mazze

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Zitat:

So war das zumindest gemeint. Augenzwinkern

Die Mathematik lebt davon, dass man Präzise ist. Von daher sollte das was Du meinst, wenn es nicht klar ist, exakt beschrieben werden.

Zitat:

Die Begriffe "Linksshift", "Rechtsshift" lese ich zum ersten Mal.

Lineare Abbildungen auf unendlichdimensionalen Räumen (wie etwa Folgenräume) nennt man Operator. Der Links/Rechtshiftoperator ist dann eine solche Abbildung.

Zitat:

Zu $\begin{eqnarray*} g(f(y)) = y \end{eqnarray*}$ : bei einer linearen Abbildung sollte doch egal sein, ob $\begin{eqnarray*} g(f(y)) = y \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(g(y)) = y \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt nicht (bzw. es stimmt nur für Endomorphismen auf endlich dimensionalen VR). Rechne es einfach mal nach.

Zitat:

Es muss schließlich eine Folge geben, die wenigstens zwei Urbilder hat.

Überlege Dir einfach mal, welche Folgen der Linksshiftoperator auf die Nullfolge abbildet. Im Übrigen muss man noch zeigen, dass der Linksshift tatsächlich linear ist (aber das ist trivial).

24.01.2011, 18:47

Peterchen

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Mit der Nullfolge meinst du schon noch die Folge, die überall 0 ist, oder? smile

smile

Zitat:

Wenn ich also bei Vektorräumen von Folgen von der 0 spreche, dann ist damit die Folge gemeint, die überall 0 ist.

Dann müsste der Operator doch auf diese Folge abbilden: $\begin{eqnarray*} (1,1,1,1,1,...) \end{eqnarray*}$ .

Aber das wird wohl nicht stimmen, da du ja bewusst schon "Folgen" geschrieben hast. Also muss es da noch andere geben.

24.01.2011, 18:55

Mazze

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Zitat:

Mit der Nullfolge meinst du schon noch die Folge, die überall 0 ist, oder?

Ja!

Also der Linksshiftoperator bildet die Folge

(1,1,1,...,)

ganz sicher nicht auf die 0 ab. Wenn ich den Linksshiftoperator auf diese Folge anwende, dann kommt einfach nur

(1,1,1,...,)

heraus (wenn ich eine Folge die nur aus einsen besteht nahc Links verschiebe bleibt es eine FOlge die nur aus 1en besteht). Mir scheint, Du hast immernoch nicht verstanden was hier eigentlich passiert.

24.01.2011, 19:12

Peterchen

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Ok, nochmal zum Verständnis:

Du sprichst von der Nullfolge als ein Element der Zielmenge. Und ich soll jetzt zwei Folgen aus der Definitionsmenge finden, die bei einer Linksverschiebung zur Nullfolge werden.

Also z.B. (1,0,0,0,...) oder (2,0,0,0,..) ?

24.01.2011, 19:14

Mazze

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Ja, das sind zwei Beispiele. Damit ist natürlich die Linksverschiebung als Abbildung aufgefasst nicht injektiv.

24.01.2011, 19:21

Peterchen

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Ärgerlich...ich hatte bis zum letzten Post aus irgendeinem Grund immer angenommen, dass die Folgen so aussehen müssten (1,2,3,4,...) oder (50,51,52,53,...). Hammer

Hammer

Bis dann der Groschen fiel... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Vielen Dank für deine Geduld Mazze. smile

smile

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