basis für orthogonale komplement

19.01.2011, 13:16	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
basis für orthogonale komplement Man bestimme eine Basis für das orthogonale Komplement zu dem von den Vektoren x=(1,0,2,3) und y=(1,0,0,4) aufgespannten teilraumes auf $\begin{eqnarray} \mathbb R ^4 \end{eqnarray}$
19.01.2011, 13:44	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne doch dazu erstmal das orthogonale Komplement.
19.01.2011, 13:59	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
also vektorprodukt ist : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2\\3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das müssen wir in gleichungssystemform aufschreiben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1&0&2&3 \\ 1&0&0&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c\\d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wir müssen die matrix jetzt in ZSF bringen: hab ich das richtig verstanden?
19.01.2011, 14:01	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, die Lösungen dieses Gleichungssystems liefern dir bereits die Basis.
19.01.2011, 14:09	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm...aber wie soll ich das lösen, ich hab 2 Gleichungen und 4 Unbekannte...wie geht das? ZSF ist: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1&0&2&3 \\0&0&-2&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
19.01.2011, 14:13	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Du wirst halt mindestens 2 freie Parameter bekommen. Die zweite Zeile sagt nicht anderes als $\begin{eqnarray} -2c + d = 0 \end{eqnarray}$ oder äquivalent $\begin{eqnarray} d = 2c \end{eqnarray}$ Das kannst Du natürlich in die erste Zeile einsetzen.
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19.01.2011, 14:17	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
also ich hab d=2c und a=8c wenn ich jetzt b und c frei wähle b=0, c=1, kommt raus a= 8, b=0, c=1, d=2 also ist die basis dann : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 1\\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
19.01.2011, 14:21	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Also erstmal ist a = -8c. b und c sind freiwählbar, das bedeutet nicht , dass Du einfach irgendwelche Zahlen dafür wählen sollst, sondern das bedeutet, dass der Lösungsraum zweidimensional ist. Sprich, Du musst zwei Basisvektoren angeben. Für jeden freien Parameter bekommst Du einen Basisvektor.
19.01.2011, 14:25	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
aso...ja....genau also dann so 1.Basis a=-8,b=0, c=1,d=2 2.basis a=0,b=1,c=0,d=0 richtig so?
19.01.2011, 14:27	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist eine Basis des orthogonalen Komplements.
19.01.2011, 14:32	ines89	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für deine hilfe....

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