grenzwert einer trivialen funktion (teilaufgabe)

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grenzwert einer trivialen funktion (teilaufgabe)
so, hier krieg ich was nicht auf die reihe ^^

ich hab die teilfunktion g(x)=x-ln(1+x) gebildet, mit der will ich zeigen dass x>=ln(1+x) ist


dafuer hab ich abgeleitet und die stetigkeit ueberprueft:
g'(x)=1-1/(x+1) >=0 fuer alle x aus (-1,unendlich)

da: x>-1 => x+1>0

reicht das so?

daraus folgt, dass g monoton steigend ist


so, jetzt muss ich nurnoch zeigen dass fuer das kleinste element aus (-1,unendlich) gilt: g(x)>=0


das ist mein grosses problem, mit x->-1 komm ich nicht weiter und mit fallunterscheidung in -1,0 und 0bis unendlich .... naja, ist bei mir nicht besonders ausfuehrlich


wer weiss da nen trck?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das mit der Ableitung ist OK.

Du kannst die Nullstellen von suchen. Im Intervall gibt es nur eine. Mit dem Zwischenwertsatz folgt dann, dass auf die Funktion entweder immer positiv oder immer negativ ist.
Um zu zeigen dass sie immer positiv ist reicht es den Wert an einer beliebigen Stelle in auszurechnen und zu sehen, dass dieser positiv ist.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hm?
g'(x)=1-1/(x+1) >=0 fuer alle x aus (-1,unendlich)

Das stimmt nun nicht, Beispiel:

.

Es stimmt also lediglich " für alle ", für gilt sogar die gegenteilige Aussage .
Hm? Auf diesen Beitrag antworten »

@systemagent, danke, das klappt

Zitat:
Original von René Gruber
Zitat:
Original von Hm?
g'(x)=1-1/(x+1) >=0 fuer alle x aus (-1,unendlich)

Das stimmt nun nicht, Beispiel:

.

Es stimmt also lediglich " für alle ", für gilt sogar die gegenteilige Aussage .


im (-1,0) bin ich auch immer auf potenzielle wiedersprueche gestossen

die aufgabe heisst allerdings:beweisen sie fuer alle x>-1:




die fordere ungleichung habe ich bereits gezeigt, die hintere ist mein g
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Komisch, die vordere halte ich für die schwierigere - im übrigen folgt die eine aus der anderen, siehe hier:

Logarithmische Ungleichung zeigen.
Hm? Auf diesen Beitrag antworten »

hm, ich schau mir das ganze zuhause in einer stunde nochmal an (bin noch inner uni am programieren)


aber wenn die erste schwerer aussieht, poste ich die mail schnell, vielleicht hat jemand lust zu schauen ob ich da nen fehler drin hab:


\frac{x}{x+1} \leq ln(1+x) fuer alle x>-1,


d.h.




da mon. steigend, dann hab ich l"hopital angewendet und hatte \

=> fuer alle x>-1, da f mon. steigend, rest folgt quasie direkt
 
 
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt es dir nicht selbst merkwürdig vor, dass bei dir die Ableitung des nicht konstanten Funktionsanteils per



einfach verschwindet? Sowas passiert doch nur bei konstanten Funktionen, was auf ja nun nicht zutrifft! Kurzum, du hast dich da verrechnet, und leider haben deine Kontrollmechanismen (soweit vorhanden) in diesem Fall dann auch versagt. unglücklich
Hm? Auf diesen Beitrag antworten »
re
zu zeigen: für alle x>-1, also für alle x>-1


für alle x>-1, da

=> f monoton steigend

da

und mit rechtsseitigem und linksseitigem grenzwert

folgt


also gilt wegen f ist monoton wachsen: für alle x>-1


dass heißt es gilt

für alle x>-1


ist das richtig so?

jetzt würde ich das von diesem link ausprobieren um die andere seite zu zeigen, richtig?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hm?
für alle x>-1, da

Schon wieder falsch für den Bereich . unglücklich

Du stellst einfach fahrlässig oft Behauptungen auf, die sich in der von dir behaupteten Allgemeinheit (also ) als falsch erweisen. Geh also in Zukunft mal etwas gründlicher vor!

---------------------------------------------------------------

Bleib doch mal beim ersten Problem - wie wir gerade gesehen haben, hat deine Flucht in das andere Problem nur gezeigt, dass du quasi dieselben Fehler da auch gemacht hast.

Zitat:
Original von Hm?
ich hab die teilfunktion g(x)=x-ln(1+x) gebildet, mit der will ich zeigen dass x>=ln(1+x) ist

Was haben wir (nach Korrektur) oben festgestellt?

(1) Es ist für alle , also ist in diesem Bereich monoton wachsend.

(2) Es ist für alle , also ist in diesem Bereich monoton fallend.

Was bedeuten (1) und (2) in Kombination mit für den Wertebereich von für alle ?
Hm? Auf diesen Beitrag antworten »

das ist schlecht... aber wenn das für ein x aus(-1,0) nicht funktioniert, wie kann ich dann noch die ganze ungleichung zeigen? die ableitung sollte diesmal richtig sein.

hm, ich ahne dass das was ich zeigen möchte, eine falsche interprätertion der aufgabe ist?


sollte ich vielleicht das zeigen:



oder:


und dann das von dem link benutzen?
Hm? Auf diesen Beitrag antworten »

die antwort von mir kam vorschenll, mom ich muss kurz nachdenken
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Offensichtlich hast du meinen letzten Beitrag noch nicht vollständig gelesen. Hier noch eine Skizze von , die deine hartnäckige Denkblockade vielleicht endlich mal zu lösen hilft:

Hm? Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von René Gruber
Zitat:
Original von Hm?
für alle x>-1, da

Schon wieder falsch für den Bereich . unglücklich

Du stellst einfach fahrlässig oft Behauptungen auf, die sich in der von dir behaupteten Allgemeinheit (also ) als falsch erweisen. Geh also in Zukunft mal etwas gründlicher vor!

---------------------------------------------------------------

Bleib doch mal beim ersten Problem - wie wir gerade gesehen haben, hat deine Flucht in das andere Problem nur gezeigt, dass du quasi dieselben Fehler da auch gemacht hast.

Zitat:
Original von Hm?
ich hab die teilfunktion g(x)=x-ln(1+x) gebildet, mit der will ich zeigen dass x>=ln(1+x) ist

Was haben wir (nach Korrektur) oben festgestellt?

(1) Es ist für alle , also ist in diesem Bereich monoton wachsend.

(2) Es ist für alle , also ist in diesem Bereich monoton fallend.

Was bedeuten (1) und (2) in Kombination mit für den Wertebereich von für alle ?



g(x)>= 0 für alle x aus

und g(x)<=0 für x aus
letzteres gefällt mir nicht besonders, wäre dass nicht das gegenteil von dem was ich haben möchte?
Hm? Auf diesen Beitrag antworten »

also muss ich zeigen, dass es bei x aus (-1,0) nicht negativ werdenkann
Hm? Auf diesen Beitrag antworten »

ich seh schon ich hab wieder was falsch
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Schlaf mal drüber - es ist einfach unbeschreiblicher Unsinn, den du da für das Intervall folgerst. Nicht mal die Skizze von hat dich zur Vernunft kommen lassen. unglücklich
Hm? Auf diesen Beitrag antworten »

da g genau eine nullstelle hat, bei x=0, gilt g(x)>= 0 auch für den fall x aus (-1,0)

^^ krass, in lina2, informatik etc, hab ich übrigens keine probleme, aber ana muss ich erst noch reinwachsen
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die Begründung passt nicht, sondern eher so:

Wenn eine Funktion in einem Intervall (wie hier (-1,0]) monton fallend ist und am Intervallende (also nicht Intervallanfang!!!) den Wert 0 annimmt, dann ist sie in diesem Intervall natürlich größer (oder gleich) diesem Wert!
Hm? Auf diesen Beitrag antworten »

jau, dass wär noch logischer, danke damit sollte die aufgabe kein problem mehr sein (und ich merk wieder, was für ein ana brett ich form kopf hatte)

das mit dem zeichnen scheint mir ein guter trick zu sein, den werde ich jetzt öfter anwenden
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