e-Funktion ableiten mittels Quotientenregel

19.01.2011, 15:39

Piiizzaboy777

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e-Funktion ableiten mittels Quotientenregel

Hallo. Muss von einer e-funktion die 1. und 2. ableitung bilden (und auch die 3. für die wendepunkte später)

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x²-4}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

also klar ist, ich muss die quotientenregel anwenden:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{2x*e^{x}-(x²-4)*e^{x}}{(e^{x})² } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2x*e^{x}-x²*e^{x}-4e^{x}*e^{x}}{(e^{x})² } \end{eqnarray*}$

stimmt das bis hierhin? ich weiß jetzt nur nich was ich davon alles zusammenfassen kann.
weil so kanns ja nicht stehen bleiben , dann wär die 2. ableitung ja seeehr lang! verwirrt

verwirrt

machen e-funktion erst seit kurzem. kann mir dabei einer helfen? wäre sehr nett!

danke. mfg.

19.01.2011, 15:40

baphomet

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RE: e-Funktion ableiten mittels Quotientenregel
Die Ableitung stimmt, da sich in beiden Teilen des Zählers der Term e^x befindet
kannst du kürzen und verinfachst den Ausdruck.

19.01.2011, 15:47

Piiizzaboy777

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$\begin{eqnarray*} = \frac{2x*e^{x}-x²*e^{x}-4e^{x}*e^{x}}{(e^{x})² } \end{eqnarray*}$

also kann ich hier durch e^x teilen?

dann stünde da:

$\begin{eqnarray*} = \frac{2x-x²-4e^{x}*}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

oder? beim kürzen bin ich immer unsicher was ich alles kürzen darf ^^ mache oft zu viel

19.01.2011, 15:51

baphomet

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Im Zähler fällt noch hinter der 4 der $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ Term weg,
weill du bei deinem Ausmultiplizieren oben, die 4 zweimal mit e^x multipliziert
hast, obwohl es nur einmal geht.

Ansosnten stimmts soweit.

$\begin{eqnarray*} <br /> f'(x)=\frac{2xe^x-(x^2-4)e^x}{ (e^x)^2}<br /> <br /> f'(x)=\frac{2x-x^2+4}{e^x} \end{eqnarray*}$

Bei einer Minusklammern ändern sich die Vorzeichen, wenn diese aufgelöst wird.

19.01.2011, 15:54

Piiizzaboy777

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jup das ist mir gerade auch aufgefallen, habs in meinem heft aber richtig^^

so danke bis hierhin.. dann mach ich mal die 2. ableitung verwirrt

verwirrt

19.01.2011, 15:55

Seawave

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In deiner Rechnung oben hattest du beim Ausmultiplizieren übrigens auch einen Vorzeichenfehler gemacht (vor der 4 muss ein + stehen, da - -), in baphomets Rechnung ist das aber richtig.
/E: Okay, baphomet hat es auch gesehen, also vergiss diesen Beitrag einfach smile

smile

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19.01.2011, 16:05

Piiizzaboy777

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so 2. ableitung:

$\begin{eqnarray*} = \frac{(6-2x)*e^{x}-(2x-x²+4)*e^{x}}{(e^{x})² } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{6e^{x}-2x*e^{x}-2x*e^{x}+x²*e^{x}-4e^{x}}{(e^{x})² } \end{eqnarray*}$

dann geteilt durch e hoch x:

$\begin{eqnarray*} = \frac{6-2x-2x+x²-4}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2+x²}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

stimmts? (hoffe so sehr)^^

19.01.2011, 16:13

baphomet

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Zitat:

Original von Piiizzaboy777

$\begin{eqnarray*} = \frac{6-2x-2x+x²-4}{e^{x} } \end{eqnarray*}$
^

Bis dahin stimmts nicht, wie kommst du drauf?

Wie kommst du auf die 6, und macht -2x-2x wirklich Null?

19.01.2011, 16:15

Piiizzaboy777

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naja bin halt drauf gekommen, indem ich alle e^x weggekürzt habe. verwirrt

verwirrt

19.01.2011, 16:16

baphomet

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Nicht +2, sollte doch -2 sein, oder?

19.01.2011, 16:18

Piiizzaboy777

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auf die 6 komme ich so:

das is ja die erste ableitung:
$\begin{eqnarray*} <br /> f'(x)=\frac{2xe^x-(x^2-4)e^x}{ (e^x)^2}<br /> <br /> f'(x)=\frac{2x-x^2+4}{e^x} \end{eqnarray*}$

so 2. ableitung :

2x-x²+4 .. davon die ableitung ist doch 6-2x

19.01.2011, 16:19

Piiizzaboy777

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Zitat:

Original von baphomet
Nicht +2, sollte doch -2 sein, oder?

mh.. aber da steht doch
$\begin{eqnarray*} = \frac{6-2x-2x+x²-4}{e^{x} } \end{eqnarray*}$

6-4... = 2 ... und -2x-2x = -4x und das x² bleibt erhalten

19.01.2011, 16:22

baphomet

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Nanana.

Die erste Ableitung lautet:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x-x^2+4}{e^x} \end{eqnarray*}$

Wir bilden die zweite Ableitung wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2-2x) e^x-(2x-x^2+4)e^x}{ (e^x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{=2-2x-2x+x^2+4}{ e^x} \end{eqnarray*}$

Dies entspricht dann der 2. Ableitung

19.01.2011, 16:24

Piiizzaboy777

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Zitat:

Original von baphomet
Nanana.

Die erste Ableitung lautet:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x-x^2+4}{e^x} \end{eqnarray*}$

achja natürlich.. die 4 fällt ja weg bei der ableitung -.-

[/quote]Wir bilden die zweite Ableitung wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2-2x) e^x-(2x-x^2)e^x}{ (e^x)^2} \end{eqnarray*}$

muss das nicht heißen im zähler (2x - x² + 4) ??[/quote]

19.01.2011, 16:25

Iorek

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Zitat:

Original von baphomet
$\begin{eqnarray*} \frac{(2-2x) e^x-(2x-x^2)e^x}{ (e^x)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{=2-2x-2x+x^2}{ e^x} \end{eqnarray*}$

Dies entspricht dann der 2. Ableitung

Nein, tut es nicht. unglücklich

unglücklich

19.01.2011, 16:27

baphomet

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Habs ja gemerkt, stimmt, da habe ich doch glatt die 4 unterschlagen.

Jetzt ist wieder Correct Time angesagt.

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