Scharparameter bestimmen, damit Funktionsschar punkt- oder achsensymmetrisch

19.01.2011, 16:14

Alandon

Scharparameter bestimmen, damit Funktionsschar punkt- oder achsensymmetrisch

Hallo,

es geht um folgende Funktionenschar: $\begin{eqnarray*} f_a(x) = \frac{1}{3}x^3-a^2x+\frac{2}{3}a^3 \end{eqnarray*}$

Die Aufgabe lautet:

Zitat:

Begründen Sie, dass genau ein Graph G existiert, der entweder achsensymmetrisch zur y-Achse oder punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung verläuft.

Quelle

Eine Funktion kann ja nur punkt- oder achsensymmetrisch sein, wenn nur ungerade bzw. gerade Exponenten von x vorkommen. Da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$ ja durch das a nicht beeinflusst wird und $\begin{eqnarray*} -a^2x \end{eqnarray*}$ auch einen ungeraden Exponenten hat, müsste man theoretisch nur das absolute Glied wegbekommen, also $\begin{eqnarray*} a = 0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Lösung: $\begin{eqnarray*} f_0(x) \end{eqnarray*}$ ist punktsymmetrisch, keine Funktion der Schar ist achsensymmetrisch.

Stimmt das so? Und gibt es dazu vielleicht noch einen "richtigen" Rechenweg?

Viele Grüße
Alandon

19.01.2011, 16:39

Seawave

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RE: Scharparameter bestimmen, damit Funktionsschar punkt- oder achsensymmetrisch
Hallo,

Deine Argumentation ist richtig.
Algebraisch könnte man das so zeigen:

Wenn Punktsymmetrie zum Ursprung vorliegt, gilt :
f(-x) = -f(-x)

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} x³+a²x+\frac{2}{3}a³ = -\frac{1}{3}x³ + a²x -\frac{2}{3}a³<br /> <=> \frac{2}{3} a³ = -\frac{2}{3}a³<br /> <=> a = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn Achsensymmetrie zur y-Achse vorliegt, gilt:
f(-x) = f(x)

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} x³+a²x+\frac{2}{3}a³ = \frac{1}{3} x³-a²x +\frac{2}{3}a³<br /> <=>2a²x = \frac{2}{3}x³<br /> <=> a² = \frac{1}{3}x² \end{eqnarray*}$

Und da es dafür keine Lösung gibt, die unabhängig von x ist, also für alle x gilt, existiert kein a, für das die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

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