Teilfolge konverget -> Folge konvergent?

24.11.2006, 14:46	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilfolge konverget -> Folge konvergent? Hallo. Ich versuch mich gerade in einem kleinen Beweis...bin mir aber wiederum nicht sicher. Es ist alles glaube ich, noch nicht richtig formalisiert... Hier die Aufgabe: Gegeben seien ein normierter Vektorraum $\begin{eqnarray} (V , \|\| .\|\|) \end{eqnarray}$ und die Folge $\begin{eqnarray} (a_h) \end{eqnarray}$ , deren Teilfolgen $\begin{eqnarray} (a_{2k}) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (a_{2k+1}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a_{3k}) \end{eqnarray}$ konvergieren. Konvergiert auch $\begin{eqnarray} (a_h) \end{eqnarray}$ selbst? (Beweis oder Gegenbeispiel). D.h. ich muss rein theoretisch nur eine Richtung zeigen bzw. widerlegen. Nämlich, dass ich aus der Konvergenz von den Teilfolgen, die Konvergenz der gesamten Folge ergibt. Andersherum ist ja recht einfach: denn wäre $\begin{eqnarray} (a_h) \end{eqnarray}$ konvergent gegen a, dann müssten ja alle Teilfolgen konvergent gegen a sein. Nun der Ansatz: Die Folge $\begin{eqnarray} (a_h) \end{eqnarray}$ konvergiert doch dann gegen a, wenn alle Teilfolgen gegen a konvergieren. D.h. ich habe zwei Fälle: 1. Angenommen $\begin{eqnarray} (a_{2k}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a_{2k+1}) \end{eqnarray}$ konvergieren beide gegen den gleichen Grenzwert a, dann konvergiert folglich auch $\begin{eqnarray} (a_h) \end{eqnarray}$ gegen a, da $\begin{eqnarray} (a_{2k}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a_{2k+1}) \end{eqnarray}$ alle Elemente von $\begin{eqnarray} (a_h) \end{eqnarray}$ wiederspiegeln. 2. Angenommen $\begin{eqnarray} (a_{2k}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a_{2k+1}) \end{eqnarray}$ konvergieren gegen unterschiedliche Grenzwerte $\begin{eqnarray} a_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a_2 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} (a_{6k}) \end{eqnarray}$ eine Teilfloge von $\begin{eqnarray} (a_{2k}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a_{6k+3}) \end{eqnarray}$ eine Teilfolge von $\begin{eqnarray} (a_{2k+1}) \end{eqnarray}$ ist, und beide Folgen auch Teilfolge von $\begin{eqnarray} (a_{3k}) \end{eqnarray}$ sind, welches gegen a konvergiert, müssen sie beide auch gegen a konvergieren. Dann müssten aber auch $\begin{eqnarray} (a_{2k+1}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a_{2k}) \end{eqnarray}$ gegen a konvergieren, was im Widerspruch zur Annahme steht, dass beide gegen unterschiedliche Grenzwerte konvergieren. D.h. insgesamt konvergiert auch $\begin{eqnarray} (a_h) \end{eqnarray}$ Grüße und vielen dank für das Feedback, hmer
24.11.2006, 17:00	Divergenz	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles richtig soweit. Nur etwas formaler aufschreiben! Die Fallunterscheidung für die Grenzwerte der ersten beiden Teilfolgen brauchst du aber nicht, du erhälst ja so oder so, dass sie am Ende gleich sind und damit die eigentliche Folge konvergiert.
25.11.2006, 10:19	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo... kann ich die Argumentation generell so mit Teilfolgen lassen, oder muss ich mit $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ arbeiten? Ich mache ja eigentlich nur von dem Satz gebrauch, dass, wenn eine Folge gegen a konvergiert, auch alle Teilfolgen gegen a konvergieren. Da müsste ich doch gar nicht mit $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ das formalisieren... aber so hinschreiben kann ich das glaube ich auch nicht... für nen Tipp zum "formalisieren" wre ich dankbar... Gruß und dank hmer
25.11.2006, 10:38	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo. ich hab das nochmal umgeschrieben. Z.z. die drei konvergenten Teilfolgen von $\begin{eqnarray} (a_h) \end{eqnarray}$ konvergieren gegen dasselbe a. Es ist $\begin{eqnarray} (a_{6k+3}) \end{eqnarray}$ Teilfoilge von $\begin{eqnarray} (a_{2k+1}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a_{6k}) \end{eqnarray}$ Teilfolge von $\begin{eqnarray} (a_{2k}) \end{eqnarray}$ Beide sind aber auch Teilfolgen von $\begin{eqnarray} (a_{3k}) \end{eqnarray}$ , welches gegen ein a konvergiert. D.h. auch $\begin{eqnarray} (a_{6k+3}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a_{6k}) \end{eqnarray}$ konvergieren gegen a. Daraus folgt: $\begin{eqnarray} (a_{2k}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (a_{2k+1}) \end{eqnarray}$ konvergieren gegen a für k gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ D.h. insgesamt konvergieren alle Teilfolgen von $\begin{eqnarray} (a_h) \end{eqnarray}$ gegen a für k gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} (a_h) \end{eqnarray}$ ist konvergent. Ist das genug "formalisiert"?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »