Nullstellenberechnung Oberstufe

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19.01.2011, 18:25

*Lene*

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Nullstellenberechnung Oberstufe

Hallo Leute, Wink

Ich bin's mal wieder... smile

Wir haben in der Schule heute mit der Berechnung von Nullstellen mit Hilfe der Polynomdivision angefangen und promt auch noch ne hausaufgabe dazu aufbekommen...

Unsere gleichung lautet im Grund:

f(x)= $\begin{eqnarray*} 2x^3+12x^2-48x-128 \end{eqnarray*}$

Das habe ich soweit schon mal gemacht:

gesucht: Nullstelle

f(x)=0

$\begin{eqnarray*} 2x^3+12x^2- 48x-128=0 \end{eqnarray*}$ |:2
$\begin{eqnarray*} x^3+ 6x^2- 24x-64 =0 \end{eqnarray*}$
64-->Teiler 1,2,4,8,16,32

Jetzt weiss ich aber leider nicht weiter... verwirrt

ich weiss nur, dass ich in folgende Form kommen muss:

$\begin{eqnarray*} (x^3+ 6x^2- 24x-64)<img src="images2/smilies/frown2.gif" border="0" alt="unglücklich" title="unglücklich" /> x-?)=... \end{eqnarray*}$

Bitte helft mir, ich bin hier am verzweifeln! traurig

Liebe Gruesse,
Lene

19.01.2011, 18:27

*Lene*

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Ich meine es muss in folgende Form am Ende kommen:

( $\begin{eqnarray*} x^3+6x^2-24x-64=0 \end{eqnarray*}$ ) : ( x-? ) =...

19.01.2011, 18:29

baphomet

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gut, dann geht es jetzt an das Probieren und damit das finden der ersten Nullstelle,
meist wählen die Lehrer eine Nullstelle zwischen -3 und 3.

19.01.2011, 18:34

Iorek

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Zitat:

Original von baphomet
meist wählen die Lehrer eine Nullstelle zwischen -3 und 3.

Nein, wenn eine ganzzahlige Nullstelle existiert, dann ist diese ein Teiler des absoluten Glieds (sofern das Polynom normiert ist), also braucht man nur diese zu überprüfen. Dadurch wird die Auswahl noch stärker als von -3 bis 3 eingeschränkt.

19.01.2011, 18:38

*Lene*

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Kann ich dann also die 2 nehmen?

Die Gleichung wuerde dann doch heissen:

( $\begin{eqnarray*} x^3+6x^2-24x-64 \end{eqnarray*}$ ) : ( x-2 ) =...

19.01.2011, 18:40

Iorek

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Ist die 2 denn eine Nullstelle der Funktion?

Du musst erst eine Nullstelle durch ausprobieren finden, dann kannst du die Polynomdivision machen.

19.01.2011, 18:42

*Lene*

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Aber wie genau finde ich diese Nullstelle denn heraus?

19.01.2011, 18:42

baphomet

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Ist da denn eine Nullstelle.

Als erstes nennst du mir mal alle ganzzahligen Teiler von 64, und dann siebst du
aus. Berechnung geht am schnellsten mitels Horner-Schema.

@Iorek

Das mit den ganzzahligen Teilern ist mir wolh bekannt, nur Lehrer wählen meist
in diesem Intervall, klar ist ersichtlich das es 3 nicht sein kann.

19.01.2011, 18:43

*Lene*

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Tut mir Leid wegen der dummen Fragen, aber ich habe wenig Verstaendnis fuer Mathe und ne schlechte Lehrerin...wie es in der Schule nun mal so ist...

19.01.2011, 18:43

Chefkoch

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Zitat:

Original von *Lene*
Aber wie genau finde ich diese Nullstelle denn heraus?

Also entweder du setzt -5 ein, dann -4 dann -3 etc oder du lässt dir die funktion mit deinem taschenrechner zeichnen (oder einem äquivalentem programm)
Und dann siehst du ja wo ne Nullstelle ist, und einer derer nimmst du dann und setzt sie in deine Formel ein.

19.01.2011, 18:45

*Lene*

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64-->Teiler 1,2,4,8,16,32

Was ist das fuer ein Schema?

19.01.2011, 18:46

baphomet

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Also eine Nullstelle liegt etwa bei x=-2,eine andere bei x=4. Das sind ganzzahlige
Teiler von 64. Jetzt kannst du zweimal Polynomdivision anwenden.

Bei Polynomdivision hilft das Tool von arndt bruenner, das genau die Rechenschritte
zeigt.

Genau das sind alles ganzzahlige Teiler, prima. Freude

Das andere lassen wir außen vor, ich möchte dich nicht weiter verwirren.

19.01.2011, 18:46

*Lene*

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Zitat:

Original von Chefkoch
[quote]Original von *Lene*
Aber wie genau finde ich diese Nullstelle denn heraus?

du lässt dir die funktion mit deinem taschenrechner zeichnen

Hab leider noch nicht solch einen Taschenrechner bin erst in der Einfuehrungsphase...

19.01.2011, 18:47

*Lene*

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sry, hab versucht zu zitieren...das erste mal...

19.01.2011, 18:48

baphomet

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Ich habe dir schon zwei Nullstellen genannt, jetzt führst du die Polynomdivision
durch.

Mal Arndt Bruenner seine Seite nutzen, wird die 100% helfen.

19.01.2011, 18:49

Chefkoch

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ok dann verwende das tool das hier im Board zur verfügung steht. Das findest du, wenn du einen Beitrag schreibst, und dann auf das 4. blaue quatrat von rechts klickst (da sieht man n achsenkreuz und ne kurve).. Dort gibst du dann deine x Achsen (zB -10 bist 10 ) ein und deine y Achse ein ( mach wieder -10 bis 10). Anschließend deine Funtion und dann zeichnen lassen (bei diesen Werten siehst du nicht die ganze Funktion, aber du siehst min. eine Nullstelle. Und mehr brauchst du nciht).

19.01.2011, 18:54

lgrizu

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Warum sind hier auf einmal drei Helfer und keiner außer Iorek geht auf Lenes Idee ein, das eine ganzzahlige Nullstelle bereits Teiler des Absolutgliedes sein muss.

Lene hat die Teiler von 64 bereits genannt und auch die Idee wurde angeführt, ebenso hat baphomet bereits Nullstellen genannt, also bitte diesen Vorschlag weiter verfolgen, denn das war auch Lenes anfängliche Idee.

Zitat:

Original von *Lene*

64-->Teiler 1,2,4,8,16,32

Ich finde es im übrigen nicht erstrebenswert, sich immer alles ausrechnen zu lassen.

@chefkoch:

Wenn bereits zwei Helfer am Werk sind und du nichts besseres zu schreiben hast als "nimm dir einen TR", dann halte dich bitte heraus.

19.01.2011, 18:57

*Lene*

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Ich hab's fuer's erste ( Nullstelle -2) irgendwie falsch gemacht...da hab ich raus $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ -8x-8 und nen Rest, doch eigentlich darf da doch kein Rest sein...

Wo finde ich die Seite?

19.01.2011, 19:09

*Lene*

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Ok, hab die Seite jetzt selbst gefunden...

Und Oh.Mein.Gott! Sie ist ist megageil, aber sie hilft mir nicht so sehr, da sie mir nicht verstaendlich machen kann, warum was wie gerechnet wurde. unglücklich

19.01.2011, 19:12

baphomet

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Die Polynomdivision verhält sich genau so, wie die schriftliche Division.
Man muss also genau so vorgehen wie mit Zahlen.

$\begin{eqnarray*} (x^3+6x^2-24x-64): (x+2)= \end{eqnarray*}$

Wie würdest du als ersten Schritt vorgehen?

19.01.2011, 19:15

*Lene*

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Ich wuerde gucken, wie ich von dem x zum x^3 komme und von der 2 zur 6x^2.

19.01.2011, 19:18

baphomet

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Das ist genau das richtige Vorgehen, dann wende es mal an und teile mir das
Ergebnis mit Lösungsweg mit.

19.01.2011, 19:20

*Lene*

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$\begin{eqnarray*} x^2-8x-8 \end{eqnarray*}$ Rest: -80

19.01.2011, 19:23

baphomet

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Ja, ich sagte bitte mit Lösungsweg, damit ich eventuelle Fehler sehen kann.

So weiß ich nur, das es falsch ist. Bitte nochmals mit Lösungsweg, ja.

19.01.2011, 19:34

*Lene*

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( $\begin{eqnarray*} x^3+6x^2-24x-64 \end{eqnarray*}$ ) unglücklich

$\begin{eqnarray*} x+2 \end{eqnarray*}$ )= $\begin{eqnarray*} x^2-8x-8Rest -80 \end{eqnarray*}$
-( $\begin{eqnarray*} x^3-2x^2 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} -8x^2-24x-64 \end{eqnarray*}$
-( $\begin{eqnarray*} -8x^2-16 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} -8x-64 \end{eqnarray*}$
-( $\begin{eqnarray*} -8x-16 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} -80 \end{eqnarray*}$

Das ist so wie ich es habe...

19.01.2011, 19:39

baphomet

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Nach dem ersten Abziehen kommt als neuer Rest das raus:

$\begin{eqnarray*} 4x^2-24x-64 \end{eqnarray*}$

Das liegt an der Minusklammer, wenn man diese auflöst ändern sich die Vorzeichen.
Wenn man auf diesen Ausdruck erneut Polynomdivision fortsetzt erhält man:

$\begin{eqnarray*} (4x^2-24x-64)/( x+2)=4x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(4x^2+8x) \end{eqnarray*}$

Soweit klar?

19.01.2011, 19:44

lgrizu

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Euch ist ein kleiner Fehler unterlaufen:

Wenn man x²(x+2) ausmultipliziert erhält man x³+2x²,

Zitat:

Original von *Lene*
( $\begin{eqnarray*} x^3+6x^2-24x-64 \end{eqnarray*}$ ) : ( $\begin{eqnarray*} x+2 \end{eqnarray*}$ )= $\begin{eqnarray*} x^2-8x-8Rest -80 \end{eqnarray*}$
-( $\begin{eqnarray*} x^3-2x^2 \end{eqnarray*}$ )

Deshalb muss das Vorzeichen von 2x² in der Klammer positiv sein und man erhält dann demenstprechend als ersten Rest 4x²-24x-64.

19.01.2011, 19:44

*Lene*

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Ah, ja klar.

19.01.2011, 19:46

baphomet

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Ja habs auch gemerkt, irgendwie vollkommen verwirrend. Lena ist das bis dahin
wo ich es dir zeigte klar?

19.01.2011, 19:47

*Lene*

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Ja, ist es. smile

19.01.2011, 19:49

baphomet

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Hast du sonst noch irgendwelche Fragen oder Probleme?

19.01.2011, 19:52

*Lene*

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Ist das ergebnis dann $\begin{eqnarray*} x^2-4x-8 Rest -80 \end{eqnarray*}$ ?

19.01.2011, 19:54

baphomet

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Nein. Deine Polynomdivision muss ohne Rest sein, dann hast du korrekt gerechnet.
Das heißt für dich wir müssen nochmal beim Anfang starten und diesmal nicht wieder
einen so leichtsinnigen Fehler machen.

Also führst du mit Lösungsweg natürlich nochmals die Polynomdivision durch.

19.01.2011, 19:57

*Lene*

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Meinst du die ganze Rechnung nochmal von vorn?

19.01.2011, 20:00

baphomet

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Jawohl

19.01.2011, 20:06

*Lene*

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Oha.

$\begin{eqnarray*} (x^3+6x^2-24x-64)/(x+2) = x^2-4x-32 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(x^3-2x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^2-24x-64 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(4x^2-8x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -32x-64 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -(32x+64) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$

Richtig? smile

19.01.2011, 20:09

baphomet

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Wie kommst du immer auf das Vorzeichen Minus, es muss +4x heißen.

Dann in deiner ersten Klammer, warum -2x^2?

Das Endergebnis stimmt, aber der Lösungsweg ist nicht sauber.

19.01.2011, 20:10

ellen_ix

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fast Richtig! Hast noch nen vorzeichen falsch

19.01.2011, 20:11

baphomet

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@ellix

Hier gehts nicht um die Lösung einer Gleichung, sondern ums Üben der
Polynomdivision. Du scheinst neu zu sein, deshalb Willkommen und halte dich an
das Boardprinzip. Ich regle die Sache hier schon.

19.01.2011, 20:12

*Lene*

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1. Uups. Klar.
2. Keine Ahnung, warum ich das gemacht habe.

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