Ableitung einer Exponentialfunktion

24.11.2006, 15:41

PG

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Ableitung einer Exponentialfunktion

Hi
Wie kann ich die allgemeine Form der Exponentialfunktion ableiten?

$\begin{eqnarray*} f(x)=a^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=??? \end{eqnarray*}$

Ich habe die Kettenregel verwendet:
$\begin{eqnarray*} f'(x)=x\cdot 0 \cdot a^{x-1}=0 \end{eqnarray*}$

Das stimmt aber nicht. Wie geht es sonst?

24.11.2006, 15:43

pseudo-nym

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$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx}a^x=a^x \ln a \end{eqnarray*}$

24.11.2006, 15:45

PG

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Schnelle Antwort...

Ist die Kettenregel verwendet worden?

Wie ist diese Ableitung zu erklären`?

Geht das nicht ohne Logharithmus naturalis?

24.11.2006, 15:51

derkoch

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$\begin{eqnarray*} a^x= e^{ln(a^x)}= e^{x \cdot lna} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{x \cdot lna} \end{eqnarray*}$

jetzt kettenregl anwenden!

24.11.2006, 15:51

pseudo-nym

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Das folgt aus der Herleitung der Ableitungsregel für Logarithmen (Herleitung sollte sich ergooglen lassen:
$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}log_a x=\frac{1}{x}log_a e \end{eqnarray*}$

Dadurch kann man eine Exponentialfunktion durch Differenzieren nach Logarithmieren bestimmen.

24.11.2006, 18:41

PG

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Ich habe mir das in Wikipedia durchgelesen und es ist sehr gut erklärt.

Nur ein Teil versteh ich nicht. Was soll das hier bedeuten:

$\begin{eqnarray*} \partial \end{eqnarray*}$

Für was ist das definiert?

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24.11.2006, 18:44

pseudo-nym

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Das ist für die partielle Ableitung in einer Funktion mehrerer Variablen, bei der nach einer dieser Variablen differenziert wird.
Implizites Differenzieren kann man aber auch ohne diese Methode.

24.11.2006, 19:36

PG

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ok wie würdest du dann mit einer anderen Methode diese Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^x \end{eqnarray*}$ ableiten?

Das würde mich mal jetzt interessieren! geschockt

geschockt

24.11.2006, 19:46

pseudo-nym

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$\begin{eqnarray*} y=x^x \end{eqnarray*}$

würde ich Logarithmieren

$\begin{eqnarray*} \ln y =x \cdot \ln x \end{eqnarray*}$

und dann per Kettenregel logarithmiert differenzieren

$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{y}=\ln x + 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=x^x(\ln x +1) \end{eqnarray*}$

(Ich nehme jetzt mal an, dass das keine Aufgabe ist die du lösen sollst)

24.11.2006, 21:11

PG

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Zitat:

Original von pseudo-nym

$\begin{eqnarray*} \ln y =x \cdot \ln x \end{eqnarray*}$

und dann per Kettenregel logarithmiert differenzieren

$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{y}=\ln x + 1 \end{eqnarray*}$

Nein wir sollen das nicht machen, aber uns auf Exponentialfunktionen vorbereiten.
Jetzt versteh ich aber das ganze und denke, dass ich bestens vorbereitet bin dank dir( und wikipedia). Ich mache mich mal an zwei schwere, überlegte ähnlich solcher Funktionen und deren Ableitung ran

Mit folgender Funktion würde es doch so gehen:

$\begin{eqnarray*} y= {(x+x^2)}^{x^2+x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln{y}=(x^2+x)\ln{x+x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{y}=\frac{(x^2+x)\cdot(1+2x)}{x+x^2}+(2x+1)\cdot\ln{x+x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{y}=(1+2x)+(2x+1)\cdot\ln{x+x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'={(x+x^2)}^{x^2+x} \cdot((1+2x)+(2x+1)\cdot\ln{x+x^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=\ln{(x+x^4+\cos^3(4x))}^{0,5\cos{(\sin(x))}-55x^{e^x}}+\cos(x) \end{eqnarray*}$
Hier muss man schon richtig viel überlegen. Ich versuchs mal und hoffe, dass einer nachprüft

$\begin{eqnarray*} \ln{g(x)}=( 0,5\cos{\sin(x)}-55x^{e^x} )\cdot \ln^2{ (x+x^4+\cos^3(4x)) } +\ln{(\cos(x))} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{g'(x)}{g(x)}=... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=\ln^2{ ( x+x^4+\cos^3(4x) )} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'= \frac{2\ln{ ( x+x^4+\cos^3(4x) )}(1+4x^3-12\sin(4x)\cos^2{(4x)})}{x+x^4+\cos^3(4x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v=0,5\cos{\sin(x)}-55x^{e^x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} o=55x^{e^x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{o'}{o}=\frac{55e^x}{55x}+e^x\ln{55x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} o'= 55x^{e^x}\cdot (\frac{55e^x}{55x}+e^x\ln{55x}) \end{eqnarray*}$

Ich höre mal ab hier auf, denn ich weiß noch nicht mal, wie man diese Funktionen mit einem Faktor davor ableitet,z.B.

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^x \end{eqnarray*}$

Das ist die erste Frage und die zweite, wie man solche Funktionen nennt?

edit: erst einmal brauche ich o und dann kann ich weiterarbeiten

24.11.2006, 21:30

pseudo-nym

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Edit: Passt schon, aber gewöhn dir an Klammern um das Argument des Logarithmus zu machen.

Zitat:

Ich höre mal ab hier auf, denn ich weiß noch nicht mal, wie man diese Funktionen mit einem Faktor davor ableitet,z.B.

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^x \end{eqnarray*}$

Funktionen mit einem konstanten Faktor leitet man ab, indem man den Faktor einfach unverändert mitzieht.

24.11.2006, 21:35

PG

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Zitat:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \ln{y}=(x^2+x)\ln{x+x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{y'}{y}=\frac{(x^2+x)\cdot(1+2x)}{x+x^2}+(2x+1)\cdot\ln{x+x^2} \end{eqnarray*}$

Wo kommt denn da der Nenner $\begin{eqnarray*} x^2+x \end{eqnarray*}$ her?

$\begin{eqnarray*} f(x)=ln(g(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$
Ich bin mir selber nicht richtig, ob das richtig ist, aber so hast du das oben auch gemacht, also geh ich davon aus, dass mein Ergebnis stimmt

Zitat:

Funktionen mit einem konstanten Faktor leitet man ab, indem man den Faktor einfach unverändert mitzieht.

Also wie bei den anderen Funktionen ok! Ich werde mich nochmal ranmachen

Wie nennt man eigentlich solche Funktionen, bei denen man nicht die Ableitungsregel einfach so anwenden kann? Ich habe mal irgendwo mal tranzdente Funktionen gehört. Sind es diese Art von Funktionen?

24.11.2006, 21:36

pseudo-nym

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Also wie oben gesagt, das stimmt schon. S. Edit oben

24.11.2006, 21:43

PG

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Also wie geht das jetzt mit der Konstanten:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \ln(f(x))=x\ln(2x) \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} \ln(f(x))=2x\ln(x) \end{eqnarray*}$

24.11.2006, 22:24

pseudo-nym

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Weder noch:
$\begin{eqnarray*} y=2x^x \\ \ln y=\ln (2x^x) \\ \ln y = \ln 2 + \ln x^x \end{eqnarray*}$

24.11.2006, 22:45

PG

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und was ist damit:

$\begin{eqnarray*} y=2x^x+cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(y)=ln(2x^x+cos(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln(y)=\ln(2)+\ln{x^x}+\ln{cos(x)} \end{eqnarray*}$

oder anders? wenn das richtig ist, wie merk ich das? Nach dieser Regel kann ich dann die Aufgabe erledigen(wenn nicht ein anderes Problem auftaucht)

24.11.2006, 22:52

pseudo-nym

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Nein, Summen in Logarithmen kann man so nicht aufteilen.
Bei solchen Aufgaben würde ich eine andere Methode vorschlagen:
$\begin{eqnarray*} y=2x^x+ \cos x \\ y=2e^{x \ln x} + \cos x \end{eqnarray*}$

24.11.2006, 23:29

PG

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Zitat:

Original von derkoch
$\begin{eqnarray*} a^x= e^{ln(a^x)}= e^{x \cdot lna} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{x \cdot lna} \end{eqnarray*}$

jetzt kettenregl anwenden!

Das sagte ja auch der Koch(aber jetzt hast du es mir noch klarer gemacht)
Ich werde die Funktion nicht ableiten, denn ich warte lieber ab, bis wir in der nächsten Mathestunde damit anfangen.

Ich hätte aber noch zwei Fragen:
1. Wie nennt man Funktionen, die man ohne die üblichen Ableitungen nicht bilden kann?

2. Wie kommt die Regel $\begin{eqnarray*} a^x= e^{ln(a^x)}= e^{x \cdot lna} \end{eqnarray*}$ zu stande?

24.11.2006, 23:35

pseudo-nym

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Zitat:

1. Wie nennt man Funktionen, die man ohne die üblichen Ableitungen nicht bilden kann?

Was meinst du mit Funktionen bilden?

$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \ln x \end{eqnarray*}$ heben sich gegenseitg auf. Genau wie $\begin{eqnarray*} \sqrt x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ . Wenn man sie ineinander verschachtelt ändert sich ihr Wert nicht.

24.11.2006, 23:38

PG

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sry ich habe mich falsch ausgedrückt. Ich meinte natürlich:

Wie nennt man Funktionen, deren Ableitungen man nicht mit den üblichen Ableitungsregeln herleiten kann?

$\begin{eqnarray*} f(x)=a^x \end{eqnarray*}$ (Exponentialfunktion) und das $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ (Wurzelfunktion)

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^x \end{eqnarray*}$ wie nennt man sowas?

24.11.2006, 23:47

pseudo-nym

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Ich glaube nicht das dieses Ding einen Namen hat, da es eben keiner der Grundfunktionstypen angehört, aber ich muss gestehen, dass ich es nicht weiß.

24.11.2006, 23:48

PG

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Was sind denn dann transzendente Funktionen?

24.11.2006, 23:51

pseudo-nym

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Das sind einfach nur Funktionen, die nicht auch den Grundrechenarten (Mal, Geteilt, Minus und Plus) aufgebaut sind, wie etwa Logarithmus-, Expoential- oder Winkelfunktionen.

24.11.2006, 23:51

PG

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Also ist es eine transzendente Funktion

Mal eine andere Frage(vielleicht kennst du die Antwort)

Warum gilt:
$\begin{eqnarray*} 0!=1 \end{eqnarray*}$
?

edit : es soll heißen 0!=1

25.11.2006, 00:00

pseudo-nym

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Ich weiß es nicht, aber ich denke es ist Definition geschockt

geschockt

25.11.2006, 00:03

PG

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Egal ist nicht wichtig(nur nebenfrage)

Also vielen vielen und nochmals vielen Dank für die Hilfe!!!! Lehrer

Lehrer

Freude

Wink

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