Einheitsvektor berechnen mit Variable

19.01.2011, 21:01	lyn4la	Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitsvektor berechnen mit Variable Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Bestimmen Sie die Komponente a im Vektor $\begin{eqnarray} \vec{v}=\begin{pmatrix} 19 \\ a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so, da mit dem Vektor $\begin{eqnarray} \vec{w}=\begin{pmatrix} 2 \\ -9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für die Einheitsvektoren gilt: $\begin{eqnarray} \|\vec{e_v} - \vec{e_q}\| = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Den Ansatz habe ich wiefolgt durchgeführt: als erstes die Einheitsvektoren bilden, indem ich durch den Betrag teile: $\begin{eqnarray} \vec{e_v} = \begin{pmatrix} \frac{19}{\sqrt{19^2+a^2}} \\ \frac{a}{\sqrt{19^2+a^2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{e_w} = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{85}} \\ \frac{-9}{\sqrt{85}} \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Nun würde ich beides subtrahieren, was sich aufgrund der unterschiedlichen Nenner schon als etwas schwieriger gestaltet. Anschließend würde ich 2 gleich der Summe der Quadrate der einzelnen Komponenten setzen (sprich Betrag bilden) Da kommt allerdings eine recht "umständliche" Formel heraus ... diese dann nach a umzustellen ist dann entsprechend - jedenfalls für mich - nahezu unmöglich. Gibt es eine etwas einfachere Möglichkeit, die Aufgabe zu lösen? Vielen Dank
19.01.2011, 23:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die gibt es. Die beiden Vektoren $\begin{eqnarray} \vec e_v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{e_w} \end{eqnarray}$ müssen senkrecht aufeinander stehen. Warum? Tipp: Benütze die Identität $\begin{eqnarray} \|\vec a\|^2 = \vec a^2 \end{eqnarray}$ (Geometrische Erklärung: Wenn der Differenzvektor zweier Vektoren der Länge 1 gleich $\begin{eqnarray} \sqrt 2 \end{eqnarray}$ ist, dann ..) Übrigens: Die Gleichung, die sich aus deinem (richtigen) Ansatz ergibt, ist nur halb so wild, wie sie aussieht und ist relativ leicht zu lösen! mY+
20.01.2011, 18:16	lyn4la	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, gut ... wäre dann ein rechtwinkliges Dreieck. Nach umstellen der Gleichung $\begin{eqnarray} 0 = 192 - 9a \end{eqnarray}$ ergibt sich für $\begin{eqnarray} a = 38/9 \end{eqnarray}$ Das Umstellen meiner eingangs aufgestellten Formel erspar ich mir jetzt, auch wenn es evtl. doch einfacher ist, als ich gedacht habe :-) Allerdings weiß leider nichts wirkliches mit der Identität $\begin{eqnarray} \|\vec{a}\|^2 = \vec{a}^2 \end{eqnarray*}$ anzufangen. Den Inahlt an einem Bsp. zu belegen ist klar, aber wie ich dies zur Lösung meiner Aufgabe verwenden kann ist mir im Moment nicht ganz klar Trotzdem vielen Dank!
21.01.2011, 11:06	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einheitsvektor berechnen mit Variable $\begin{eqnarray} \|\vec{e_v} - \vec{e_w}\| = \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Diese Gleichung quadrieren $\begin{eqnarray} \|\vec{e_v} - \vec{e_w}\|^2 = (\vec{e_v} - \vec{e_w})^2 = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{e_v}^2 - 2 \vec{e_v}\vec{e_w} + \vec{e_w}^2 = 2 \end{eqnarray}$ Lt. Vorauss. ist $\begin{eqnarray} \|\vec{e_v}\| = \|\vec{e_w}\|^2 = 1 \end{eqnarray}$ daher auch $\begin{eqnarray} \vec{e_v}^2 = \|\vec{e_v}\|^2 =1 \ \text{und} \ \vec{e_v}^2 = \|\vec{e_v}\|^2 =1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2 - 2 \vec{e_v}\vec{e_w} = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{e_v}\vec{e_w} = 0 \end{eqnarray}$ Was dies bedeutet, wird nun klar sein. Nun lässt sich daraus auch a ganz leicht berechnen, auch wenn die beiden Vektoren nicht - zufällig, wie hier - senkrecht aufeinander stehen sollten. Deine Lösung ist übrigens richtig. mY+

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »