Basis eines Vektorraums

19.01.2011, 22:23

Sebastian92

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Basis eines Vektorraums

Meine Frage:
Hallo zusammen,

habe hier folgende Aufgabe und komme einfach nicht weiter:

Finden Sie eine Basis des Raums V := $\begin{eqnarray*} \left\{\vec{x} \in \mathbb R^{3}: x1=x2 \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß, dass man hierfür 3 linear unabhängige Vektoren finden muss.

Wenn ich dann ein Gleichungssystem bilde, sind aber doch die ersten beiden Zeileb exakt gleich. Zum Beispiel:

x1 + x2 = 0

x1 + x2 = 0

x1 + x3 = 0

Hier könnte ich zum Beispiel nach x1 auflösen (x1=-x2) und das dann einsetzen. Dann erhalte ich aber in der zweiten Gleichung 0=0 und ich kann über x2 gar keine Aussage mehr machen.

Ich hoffe, mir kann jemand helfen.

Danke im voraus.

19.01.2011, 22:38

lgrizu

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RE: Basis eines Vektorraums
Wieso drei linear unabhängige Vektoren?

Du suchst linear unabhängige Vektoren der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_1 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Welche Dimension hat dein Vektorraum V?

19.01.2011, 23:05

Sebastian92

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Ich dachte das durch das IR^3 in der Klammer die DImension auf 3 festgelegt wird, oder täusche ich mich?

19.01.2011, 23:09

lgrizu

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Da täuscht du dich, das bedeutet lediglich, dass die Vektoren aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ stammen, also dass sie 3 Einträge haben.

Wir parametrisieren mal, wir stellen uns also vor, wir haben die Lösung eines unbestimmten LGS, wenn $\begin{eqnarray*} x_1=\lambda \end{eqnarray*}$ ist was ist dann $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ ?

19.01.2011, 23:13

Sebastian92

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Dann wäre auch $\begin{eqnarray*} x_{2}=\lambda \end{eqnarray*}$ ?

Reicht es dann, wenn die Dimension nicht angegeben ist, zwei linear unabhängige Vektoren zu finden?

19.01.2011, 23:14

lgrizu

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Okay, jetzt bist du bei zwei Vektoren, das sollte dann auch stimmen.

Aber erst mal weiter machen, nun ist $\begin{eqnarray*} x_1=\lambda \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2=\lambda \end{eqnarray*}$ , was ist x_3 ?

Zitat:

Original von Sebastian92

Reicht es dann, wenn die Dimension nicht angegeben ist, zwei linear unabhängige Vektoren zu finden?

Ja, das reicht.

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19.01.2011, 23:18

Sebastian92

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Sorry, keine Ahnung, vielleicht 0? Irgendwie kann ich dem Gedanken nicht folgen.

19.01.2011, 23:23

lgrizu

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Wir stellen uns vor, wir haben ein LGS und parametrisieren die Variablen, wenn wir x_1 parametrisiert haben, dann haben wir auch die parametrisierte Darstellung von x_2.

Das ganze läuft darauf hinaus, dass wir eine Linearkombination linear unabhängiger Vektoren angeben, die jeden Vektor von V darstellen kann.

Also muss für x_3 auch ein Parameter gewählt worden sein, setze $\begin{eqnarray*} x_3=\mu \end{eqnarray*}$ und stelle nun den Vektorraum als Parameterdarstellung dar.

19.01.2011, 23:33

Sebastian92

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Ich verstehe einfach nicht, worauf du hinaus willst. Wäre denn zum Beispiel die Basis mit den Vektoren v1=(1,2,1) und v2=(1,2,3) eine Lösung der Aufgabe?

19.01.2011, 23:36

lgrizu

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Nein, das ist auch nur von dir ins blaue geraten.

Okay, fangen wir anders an:

Nenne eine Linearkombination zweier linear unabhängiger Vektoren, mit der man jeden Vektor der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ darstellen kann.

19.01.2011, 23:45

Sebastian92

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$\begin{eqnarray*} \lambda _{1} \begin{pmatrix} a \\ a \\ b \end{pmatrix} + \lambda _{2} \begin{pmatrix} a \\ a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigentlich ja Blödsinn, aber mir fällt nichts besseres ein.

19.01.2011, 23:52

lgrizu

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Jap, ist ziemlicher Blödsinn.

Es ist wirklich schwer, hier keine Lösung zu liefern.

Wir zerlegen den Vektor mal:

Es ist: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\a \\ b \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a \\a \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nun ziehe a und b aus den Vektoren heraus und du hast die gesuchte Linearkombination.

20.01.2011, 00:04

Sebastian92

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Ich habe hier sämtliche Definitionen neben mir liegen und finde einfach keine Übereinstimmung mit dem was du schreibst smile

smile

Also müsste ich dann als Lösung schreiben:

$\begin{eqnarray*} \left(\begin{pmatrix} a \\ a \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ b \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

oder liege ich wie immer falsch?

20.01.2011, 00:11

lgrizu

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Du liegst immer noch falsch.

wie gesagt, es ist: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\a \\ b \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a \\a \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ b \end{pmatrix} =a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ 0 \end{pmatrix}+b \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nun bist aber wirklich mal du dran, welche Basis haben wir nun?

Zitat:

Original von Sebastian92
Ich habe hier sämtliche Definitionen neben mir liegen und finde einfach keine Übereinstimmung mit dem was du schreibst smile

smile

Was für eine Übereinstimmung möchtest du denn haben?

Soll ich dir die Definition einer Basis hier hin schreiben, die eines Vektorraums? unglücklich

unglücklich

20.01.2011, 00:19

Sebastian92

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Wenn ich hier in meine Definition einer Basis schaue, steht hier, dass bei einer Dimension n eines Vektorraums V jedes n-Tupel (v1,v2,...,vn) von linear unabhängigen Vektoren aus V eine Basis von V ist.

Vielleicht verstehst du jetzt, warum ich nicht weiß, was ich da jetzt als Lösung hinschreiben soll.
Mag ja sein, dass das superleicht ist, aber ich kenne das ganze halt nur aus den Definitionen, die ich hier habe.

20.01.2011, 00:21

lgrizu

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Schreibe mal die Definition einer Basis in zwei Worten hier hin, dann schaue dir das noch mal an:

Zitat:

Original von lgrizu

wie gesagt, es ist: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\a \\ b \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a \\a \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ b \end{pmatrix} =a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ 0 \end{pmatrix}+b \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das ist eigentlich eine Komplettlösung, und die sollte man schon erkennen, wenn man sie vor sich hat Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.01.2011, 00:28

Sebastian92

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In der Aufgabenstellung heißt es ja, man soll EINE Basis finden. Du bist dir sicher, dass man hier die Linearkombination braucht, oder soll man doch ein Beispiel angeben?

20.01.2011, 00:35

lgrizu

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Oh mann, du machst mich fertig........

Was ist denn EINE Basis?

Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem, was bedeutet, dass man durch eine (geeignete) Linearkombination von Basisvektoren jeden Vektor des Vektorraums darstellen kann.

Ist also eine Linearkombination linear unabhängiger Vektoren gefunden, die den VR aufspannen, so ist auch eine Basis gefunden.

Ich dachte, du hättest die Definitionen vor dir liegen?

20.01.2011, 00:39

Sebastian92

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Habe ich ja und auch schon hier gepostet.

Zitat:

Original von Sebastian92
Wenn ich hier in meine Definition einer Basis schaue, steht hier, dass bei einer Dimension n eines Vektorraums V jedes n-Tupel (v1,v2,...,vn) von linear unabhängigen Vektoren aus V eine Basis von V ist.

Ich lese hieraus, dass man ein Tupel angeben soll. Aber wahrscheinlich ist damit eine Linearkombination gemeint (vielleicht liege ich ja damit wenigstens einmal richtig smile

smile

)

20.01.2011, 00:42

lgrizu

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Liest du eigentlich, was ich schreibe?

Zitat:

Original von lgrizu
Ist also eine Linearkombination linear unabhängiger Vektoren gefunden, die den VR aufspannen, so ist auch eine Basis gefunden.

Und nun schauen wir uns das hier noch mal an:

Zitat:

Original von lgrizu

wie gesagt, es ist: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\a \\ b \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a \\a \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ b \end{pmatrix} =a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\1 \\ 0 \end{pmatrix}+b \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wie schaut nun eine mögliche Basis aus?

Edit: Ein Nachtrag: Eine Basis ist eine Menge von Vektoren, mit einer Linearkombination aus Basisvektoren kann man die Vektoren des VR darstellen.

20.01.2011, 00:46

Sebastian92

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$\begin{eqnarray*} \left(\begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

20.01.2011, 00:48

lgrizu

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Zum Beispiel, die naheliegenste wäre aber wohl {(1,1,0),(0,0,1)} gewesen, aber deine geht auch.

20.01.2011, 00:49

Sebastian92

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Ist das jetzt die Lösung oder muss ich die Lineakombination hinschreiben. Ich tippe mal auf die Linearkombination, wenn ich deinen Nachtrag richtig verstanden habe?

20.01.2011, 00:51

lgrizu

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Nein, gesucht ist eine Basis, also die Menge.

Ich habe die Linearkombination benutzt, um diese zu bestimmen.

20.01.2011, 00:54

Sebastian92

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Man, das mit dem editieren klappt nicht immer so wie es soll. Jetzt ist mein alter Beitrag weg smile

smile

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