Lesbesgue-Messbarkeit einer lipschitz-stetigen Fkt.

19.01.2011, 22:30	NastyNat	Auf diesen Beitrag antworten »
Lesbesgue-Messbarkeit einer lipschitz-stetigen Fkt. Meine Frage: Warum ist das Bild einer Lebesgue-messbaren Menge unter einer lipschitz-stetigen Funktion wieder Lebesgue-messbar? Meine Ideen: Sei $\begin{eqnarray} f: \mathbb R ^n \to \mathbb R ^m \end{eqnarray}$ lipschitz-stetig und $\begin{eqnarray} A\subset \mathbb R ^n \end{eqnarray}$ lebesgue-messbar. Irgendwie ist es mir einläuchtend, dass aufgrund der lipschitz-stetigkeit auch das bild von A lebesgue-messbar sein muss, doch wie zeigt man das formal. ich habe bisher keinen Satz dazu gefunden.
19.01.2011, 22:50	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Verwende folgendes: Jede Lebesuge-messbare Menge A kann geschrieben werden als $\begin{eqnarray} A = K \cup N \end{eqnarray}$ mit einer Borelmenge K und einer Nullmenge N. Zeige, dass deine Funktion Nullmengen auf Nullmengen abbildet und finde ein Argument, weshalb das Bild einer Borelmenge wiederum eine Borelmenge ist. Gruss Edit: Habe da vielleicht ein bisschen zu viel verlangt: Dass das Bild einer Borelmenge wiederum eine Borelmenge ist, könnte eventuell gar nicht stimmen, für Sigma-kompakte Mengen gilt es aber sicherlich, und das ist alles was man hier braucht.

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