| 20.01.2011, 02:19 |
tigerbine |
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[Artikel] Fragen zur Polynominterpolation
Dieser Artikel beschäftigt sich mit einer Zusammenfassungen der Ideen aus dem [WS] Polynominterpolation - Theorie , bzw. ein paar Fragen, die man sich dazu stellen könnte. Der Blickwinkel ist subjektiv eingeschränkt. Die hier verwendeten Begriffe sind im WS zu finden.
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| Frage: Was versteht man unter "Polynominterpolation"? |
Die eindeutige Existenz einer Lösung der Lagrangeschen Interpolationsaufgabe. D.h.zu (n+1) paarweise verschiedenen Knoten mit zugehörigen Funktionswerten existiert genau ein Polynom vom Maximimalgrad n, für das gilt . Der Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit kann dabei auf verschiedenen Wegen erfolgen. Je nach Darstellung des Interpolationspolynoms.
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| Frage: Welches sind bekannte Darstellungen des Interpolationspolynoms? |
Wir fassen das Interpolationspolynom als Vektor des Polynomraums auf. Je nachdem, mit welcher Basis man den Raum ausstattet, ändert sich auch die Darstellung des Polynoms. Bekannte Basen sind die Monom-Basis, die Lagrange-Basis, die Newton-Basis und die Taylorbasis.
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| Frage: Vor- und Nachteile der Monom-Basis? |
Die Darstellung bzgl. der Monombasis ermöglicht es - unabhängig von den Knoten - zu sehen, ob 2 Polynome übereinstimmen. Dies ist aber auch zugleich ihr Nachteil. Nimmt man Knoten hinzu, oder lässt welche Weg, muss man die Interpolationsaufgabe komplett neu lösen. In diesem Fall wäre das ein LGS mit der Vandermonde-Matrix. Ein weiter Vorteil ist das einfache Integrieren bzw. Differenzieren in dieser Darstellung.
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| Frage: Wo findet die Lagrange-Basis Anwendung? |
In dieser Darstellung lässt sich die Existenz des IPs leicht zeigen. Weiter nutzt man diese Darstellung bei der Herleitung von Quadraturformeln [numerische Integration].
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| Frage: Womit hängt die Taylorpolynomdarstellung zusammen? |
Zum Beweis der Eindeutigkeit benötigt man den Satz vom Nullpolynom. In dessen Beweis verwendet man das Horner-Schema. In der Enddiagonalen des vollständigen Hornerschemas stehen die Koeffizienten des Ips bzgl. der Taylorentwicklung.
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| Frage: Wo findet die Newton-Basis Anwendung? |
In dieser Darstellung lassen sich die Koeffizienten (dividierte Differenzen) leicht rekursiv berechnen. Mit dem Neville-Schema lässt sich auf sehr ähnliche Weise auch das IP selbst berechnen, bzw. sein Funktionswert an einer bestimmen Stelle. Die Dividierten Differenzen spielen auch eine entscheidende Rolle bei Berechnung des Interpolationsfehlers.
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| Frage: Wie sollte man die Knoten wählen? |
Ist kein festes Gitter geben, sondern nur ein Modellierungsintervall, dann sollte man als Knoten die Nullstellen des entsprechenden Tschebyscheffpolynoms wählen. Diese Wahl mnimiert das betragsmäßige Maximum des Interpolationsfehlers auf dem gegeben Intervall.
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| Frage: Konvergenzverhalten der Polynominterpolation? |
Im Allgemeinen eine nicht einfach zu beantwortende Frage. Die Fehlerformel/Restglieddarstellung benötigt schon einmal hohen Grad an stetiger Diff'barkeit der Funktion f. Und selbst wenn dies gegeben ist, zeigt Runges Beispiel - Bauart dass bei äquidistanter Knotenwahl, die Folge der IPs noch nicht einmal Punktweise konvergieren muss. Ist f jedoch stetig diff'bar und wählt man als Knoten die Tschebyscheffknoten, so konvergiert die Folge der Ips sogar gleichmäßig gegen f. Abschließend sei noch der Satz von Faer erwähnt: Zzu jeder gegeben Knotenfolge exisitert eine stetige Funktion derart, dass die zug. Folge der Ips nicht gleichmäßig gegen f konvergiert (glm. Konvergenz == epsilon-Schlauch ist für die Fehlerabschätzung auf dem Intervall wichtig). |
