Gamma-Funktion

20.01.2011, 09:19

kein mathestudent

Gamma-Funktion

Hallo,
soll zeigen, dass die Gammafunktion für alle x in (0,unendlich) konvergiert. Könnt ihr mir helfen, wie ich sie geschickt abschätzen kann? Danke.

$\begin{eqnarray*} \Gamma(x)=\int_0^\infty \frac{t^{x-1}}{e^t}\dd t \end{eqnarray*}$

20.01.2011, 09:45

tmo

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Zunächst reicht es zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{t^{x-1}}{e^t}dt \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_1^\infty \frac{t^{x-1}}{e^t}dt \end{eqnarray*}$ konvergieren

Das erste Integral ist sowieso nur für $\begin{eqnarray*} x \in (0,1) \end{eqnarray*}$ kritisch. Beachte dabei, dass die e-Funktion eigentlich keine Rolle spielt, die bewegt sich ja nur zwischen 1 und e. Wenn du die e-Funktion also weglässt, in dem du geeignet abschätzt, so hast du im Integrand nur $\begin{eqnarray*} t^{x-1} \end{eqnarray*}$ und kannst eine Stammfunktion finden.

Für das zweite Integral:
Sei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ so gewählt, dass $\begin{eqnarray*} n > x \end{eqnarray*}$ .
Es ist dann $\begin{eqnarray*} e^t \geq \frac{t^{n+1}}{(n+1)!} \end{eqnarray*}$

edit: \frac hinzugefügt. Danke an René Gruber Wink