Summe mit Binomialkoeffizienten und mehr

20.01.2011, 09:45

carlito11

Summe mit Binomialkoeffizienten und mehr

Meine Frage:
Leute ich sitze den ganzen Tag an derselben Aufgabe, und ich muss sie morgen in der Uni praesentieren!
Es geht um das Locked-Boxes-Prinzip, vielleicht kennt das jemand.
Jedenfalls komme ich auf eine Summenformel, die ich berechnen muss. Ich kenne das Ergebnis, das rauskommen sollte, vorrausgesetzt, ich habe bis jetzt richtig gerechnet. Es ist folgende Summe, sie aehnelt der Vandermondschen Identitaet, aber leider ist noch ein i drin:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^k \begin{pmatrix} k \\ k-i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} n-k \\ i \end{pmatrix} i \end{eqnarray*}$

Da soll k/n rauskommen.
Bitte bitte helfe mir jemand, das zu loesen! Hier in den USA ist es gerade 1 Uhr morgens und am Mittag muss ich meine Loesung praesentieren.

Vielen vielen Dank!!!

Meine Ideen:
Wie gesagt, Vandermondsche Identitaet sieht sehr aehnlich aus, aber das i steckt halt noch drin.
Die beiden Binomialkoeffizienten kann man auch nicht zu einem zusammenfassen. Ich bin wirklich ratlos...

edit: "Brauche dringend Hilfe! " aus dem Titel entfernt. Hilfe brauchen hier alle Fragesteller und jede Anfrage ist gleich dringlich.
LG sulo

20.01.2011, 09:49

carlito111

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Oh es soll uebrignes nicht k/n rauskommen, vor der summe wird noch 1/ (n ueber k)(n-k) stehen und insgesamt soll dan k/n rauskommen

20.01.2011, 10:07

René Gruber

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Für $\begin{eqnarray*} i=0 \end{eqnarray*}$ ist der Summand gleich Null. Für $\begin{eqnarray*} i\geq 1 \end{eqnarray*}$ kann man gemäß $\begin{eqnarray*} \binom{n-k}{i}\cdot i = \binom{n-k-1}{i-1}\cdot (n-k) \end{eqnarray*}$ die Summe umschreiben zu

$\begin{eqnarray*} (n-k)\cdot \sum\limits_{i=1}^k \binom{k}{k-i} \binom{n-k-1}{i-1} = (n-k)\cdot \sum\limits_{j=0}^{k-1} \binom{k}{k-1-j} \binom{n-k-1}{j} \end{eqnarray*}$

Anschließend nutzt man

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^m \binom{a}{m-j} \binom{b}{j} = \binom{a+b}{m} \end{eqnarray*}$ ,

(wenn man's nicht kennt, beweist man es - ist hier im Board z.B. schon zigmal geschehen) für die Werte $\begin{eqnarray*} a=k,b=n-k-1,m=k-1 \end{eqnarray*}$ .

20.01.2011, 10:35

carlito1111

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Rene, wie kann ich dir jemals genug dafuer danken!
Nach etlichen Stunden, tausenden Ansaetzen und zig Blaettern steht k/n und ein q.e.d. auf meinem Papier.

Mir fehlt immer genau das, zu sehen, dass z.b diese Gleichheit, die du gesehen hast, zum Erfolg fuehrt.
Ich habe bestimmt ne knappe Stunde nach Vandermondescher Identitaet gesucht und gehofft als Anwendung meine Summe zu bekommen...

Ich wuensche dir einen wundervollen Tag, meinen (morgigen) hast du jedenfalls gerettet und ich kann endlich schlafen gehen =)

Beste Gruesse!!

20.01.2011, 10:50

René Gruber

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"Vandermondesche Identität" - wusste bisher gar nicht, dass diese Formel

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^m \binom{a}{m-j} \binom{b}{j} = \binom{a+b}{m} \end{eqnarray*}$

so heißt. Nun weiß ich es, habe also auch was dazugelernt. Augenzwinkern

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