Leontief - Modell

24.11.2006, 16:35

mercany

Leontief - Modell

Moin,

folgende Aufgabenstellung bereitet mir wieder Kopfzerbrechen. smile

Eine Input-Output-Tabelle ist gegeben (in Matrixform übertragen):

Produktion der einzelnen Zweigwerke: $\begin{eqnarray*} A\vec{x} = \begin{pmatrix} 21 & 60 & 54 \\ 14 & 0 & 72 \\ 28 & 80 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Konsumvektor $\begin{eqnarray*} \vec{y} = \begin{pmatrix} 5 \\ 114 \\ 72 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} A\vec{x} + \vec{y} = \vec{x} \end{eqnarray*}$

1. In der kommenden Produktionsperiode produziert Zweigwerk A 200ME. Zweigwerk C liefert 1/6 seiner Produktion an den Markt. Das Verhältnis der Produktion von B und C ist 5:4. Berechne den Produktionsvektor und Konsumabgabevektor.

Ich habe mir überlegt:
Der Produktionsvektor müsste lauten $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix}200 \\ 5x \\ 4x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Konsumabgabevektor sähe dann wie folgt aus: $\begin{eqnarray*} vec{y} = \begin{pmatrix} 75 \\ 5x-86 \\ \frac{2}{3}x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur irgendwie kann das nicht so passen. $\begin{eqnarray*} 2/3x \end{eqnarray*}$ müsste wegen $\begin{eqnarray*} 1/6 \end{eqnarray*}$ der Produktion passen. $\begin{eqnarray*} 75 \end{eqnarray*}$ errechnet sich aus $\begin{eqnarray*} 200 - (54 +60+21) \end{eqnarray*}$ , nur $\begin{eqnarray*} 5x-86 \end{eqnarray*}$ macht mir Sorgen. Da scheint etwas an meinen Überlegungen nicht zu stimmen....

Herzlichen Dank!
mercany

25.11.2006, 13:59

Abakus

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RE: Leontief - Modell

Zitat:

Original von mercany
Eine Input-Output-Tabelle ist gegeben (in Matrixform übertragen):

Produktion der einzelnen Zweigwerke: $\begin{eqnarray*} A\vec{x} = \begin{pmatrix} 21 & 60 & 54 \\ 14 & 0 & 72 \\ 28 & 80 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier fehlt ein x auf der rechten Seite. x selbst ist - so wie ich das Modell verstehe - der Vektor der Menge der produzierten Einheiten. Ax bezeichnet die Menge der Einheiten, die zur Produktion von x bereitgestellt werden muss.

Zitat:

Konsumvektor $\begin{eqnarray*} \vec{y} = \begin{pmatrix} 5 \\ 114 \\ 72 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} A\vec{x} + \vec{y} = \vec{x} \end{eqnarray*}$

Ja, ok soweit.

Zitat:

1. In der kommenden Produktionsperiode produziert Zweigwerk A 200ME. Zweigwerk C liefert 1/6 seiner Produktion an den Markt. Das Verhältnis der Produktion von B und C ist 5:4. Berechne den Produktionsvektor und Konsumabgabevektor.

Ich habe mir überlegt:
Der Produktionsvektor müsste lauten $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix}200 \\ 5x \\ 4x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Konsumabgabevektor sähe dann wie folgt aus: $\begin{eqnarray*} vec{y} = \begin{pmatrix} 75 \\ 5x-86 \\ \frac{2}{3}x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur irgendwie kann das nicht so passen. $\begin{eqnarray*} 2/3x \end{eqnarray*}$ müsste wegen $\begin{eqnarray*} 1/6 \end{eqnarray*}$ der Produktion passen. $\begin{eqnarray*} 75 \end{eqnarray*}$ errechnet sich aus $\begin{eqnarray*} 200 - (54 +60+21) \end{eqnarray*}$ , nur $\begin{eqnarray*} 5x-86 \end{eqnarray*}$ macht mir Sorgen. Da scheint etwas an meinen Überlegungen nicht zu stimmen....

Statt 75 sind es 65. Wie kommst du zu der zweiten Komponente des Konsumvektors ?

Ggf. solltest du das Gleichungssystem einfach aufstellen und schauen, ob da ein x und eine zweite Komponente des Konsumvektors rauskommen.

Grüße Abakus smile

25.11.2006, 18:43

mercany

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RE: Leontief - Modell
Hallo Wink

herzlichen Dank für deine Antwort, Abakus.

Zitat:

Original von Abakus
Hier fehlt ein x auf der rechten Seite. x selbst ist - so wie ich das Modell verstehe - der Vektor der Menge der produzierten Einheiten. Ax bezeichnet die Menge der Einheiten, die zur Produktion von x bereitgestellt werden muss.

Das passt schon, die Werte entsprechen $\begin{eqnarray*} A\cdot \vec{x} \end{eqnarray*}$ . Jede Komponente durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ geteilt entspräche der Input-Matrix A. Jedoch ist $\begin{eqnarray*} A\cdot \vec{x} \end{eqnarray*}$ die Input-Output-Matrix!

Zitat:

Original von AbakusStatt 75 sind es 65. Wie kommst du zu der zweiten Komponente des Konsumvektors ?

Ja, 65 - rechnen sollte man schon können. Augenzwinkern

Die Lieferung der einzelnen Posten plus dem Konsum ergibt die Gesamtprodukt. Also ergibt Gesamtproduktion minus der Produktion der einzelnen Posten den Konsum

Daher $\begin{eqnarray*} 5x - (14 + 0 + 72) \end{eqnarray*}$ . So dachte ich mir das.

Zitat:

Original von Abakus
Ggf. solltest du das Gleichungssystem einfach aufstellen und schauen, ob da ein x und eine zweite Komponente des Konsumvektors rauskommen.

Die Frage ist nur, ob das dann auch richtig ist verwirrt

Gruß, mercany

26.11.2006, 13:00

Abakus

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RE: Leontief - Modell

Zitat:

Original von mercany Eine Input-Output-Tabelle ist gegeben (in Matrixform übertragen): Produktion der einzelnen Zweigwerke: $\begin{eqnarray*} A\vec{x} = \begin{pmatrix} 21 & 60 & 54 \\ 14 & 0 & 72 \\ 28 & 80 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich merke, ich habe noch Probleme die Notation der Aufgabe zu verstehen. Was ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hier ? Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Matrix ist, müsste $\begin{eqnarray*} A\vec{x} \end{eqnarray*}$ ein Vektor sein (da steht aber eine Matrix?). Das was wir hier brauchen, ist die Input- oder Leontief-Matrix (eine Komponente $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ soll die Anzahl der Einheiten von Gut i bezeichnen, die benötigt werden, um eine Einheit von Gut j zu produzieren). Ergibt sich die irgendwie aus dieser Notation ? Grüße Abakus smile

EDIT: irgendwie verschwinden hier die Return-Zeichen

26.11.2006, 21:46

mercany

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$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} \frac{21}{x_1} & \frac{60}{x_2} & \frac{54}{x_3} \\ \frac{14}{x_1} & \frac{0}{x_2} & \frac{72}{x_3} \\ \frac{28}{x_1} & \frac{80}{x_2} & \frac{0}{x_3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruß, mercany

27.11.2006, 01:58

Abakus

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OK, das sieht gut aus Augenzwinkern

. Dann komme ich auf folgende Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} 21x_1 + 60x_2 + 54x_3 + y_1 = x_1 = 200 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 14x_1 + 72x_3 + y_2 = x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 28x_1 + 80x_2 + y_3 = x_3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x_2}{x_3} = \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 28x_1 + 80x_2 = 5y_3 \end{eqnarray*}$

Das sind 5 Variable und 5 Gleichungen (eine Variable kennst du bereits).

Grüße Abakus smile

27.11.2006, 13:12

mercany

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Ja, so müsste das passen - schaut gut aus. smile

Heute in der Klausur kam dann auch, wie sollte es anders sein, genau diese Aufgabe (nur mit anderen Werten) als Klausur-Teilaufgabe dran.

Ich habe da, so denke ich zumindest, den selben Weg wie du gewählt. Mal schaun, obs gepasst hat. Augenzwinkern

Erstmal Danke für deine Hilfe!

Gruß, mercany

11.12.2006, 16:56

mercany

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Wollte nur kurz bescheid geben, dass ich die Korrektur nun erhalten habe.
Der Weg war so richtig! Freude

Grüße
mercany

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