Aufgabe vollständige Induktion

20.01.2011, 11:28

To Be

Aufgabe vollständige Induktion

Hallo Leute,

ich habe mir gestern zum ersten mal das oben genannte Thema angeguckt.
In den Skripten die ich habe hab ich überhaupt nix davon verstanden, also habe ich im Internet dazu Videos gesucht und auch gefunden.

Dieser Kerl hat das recht anschaulich erklärt, und sogar auch die erste Aufgabe meiner Übungen dort vorgezeigt.

Ich hab mich auch gleich an der zweiten Aufgabe über die gleiche Weise versucht, aber bekomme es irgendwie nicht ganz hin.

Zur Aufgabe:

1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 + (n + 1)^3 = (n(n+1) / 2)^2

Für den Induktionsanfang hab ich jetzt einfach mal die ersten beiden Zahlen in die oben genannte Funktion eingesetzt:

1^3 = (1(1+1) / 2)^2
1^3 + 2^3 = (2(2+1) / 2)^2

Stimmt beides.

Nun zum Induktionsschritt:

In den Videos hat Martin dafür jetzt bei der vorangegangen Aufgabe zwei Sachen aufgeschrieben, also hab ich versucht es hier genauso zu machen:

(n(n+1) / 2)^2 + (n+1)^3 =

Und dann hat er noch eine zweite Funktion aufgeschrieben, bei der er in der Ausgangsfunktion einfach für n jeweils (n+1) eingesetzt hat. Demnach käme hier folgendes raus:

(n+1)(n+2) / 2)^2 =

Wenn man diese beiden Sachen jetzt ausmultipliziert müsste eigentlich das gleiche rauskommen, und demnach wäre doch eigentlich bewiesen das die Aussage stimmt, aber ich komm einfach nicht auf das gleiche Ergebnis.

Hab ich was falsch gemacht oder schiess ich den Bock beim Ausmultiplizieren?

Danke und Grüße
Tobi

20.01.2011, 11:43

klarsoweit

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RE: Aufgabe vollständige Induktion

Zitat:

Original von To Be
Hab ich was falsch gemacht oder schiess ich den Bock beim Ausmultiplizieren?

Beides ist sehr wahrscheinlich. smile

20.01.2011, 11:49

To Be

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Dann bräuchte ich jetzt Hilfe um herauszufinden, was falsch gelaufen ist...

Stimmt denn die ganze Sache vom Aufbau her wenigstens einigermaßen was ich da hingeschrieben hab, oder ist das kompletter Blödsinn??

20.01.2011, 11:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von To Be
Dann bräuchte ich jetzt Hilfe um herauszufinden, was falsch gelaufen ist...

Dazu bräuchten wir eine genaue Angabe, was du gerechnet hast. Wir sind hier keine Hellseher.

Zitat:

Original von To Be
Stimmt denn die ganze Sache vom Aufbau her wenigstens einigermaßen was ich da hingeschrieben hab, oder ist das kompletter Blödsinn??

Die prinzipielle Vorgehensweise ist ok.

20.01.2011, 12:11

To Be

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Eben das wollte ich wissen, ob das was ich hingeschrieben habe erstmal OK ist bevor ich anfange euch vorzurechnen.

Also gut, rechnen wir mal die erste Funktion aus, die war:

(n(n+1) / 2)^2 + (n+1)^3 = (n+1) / 2 {(n^2 / 2) + 2*(n+1)^2}

= 1/2n^2 + 2n^2 + 4n + 2 = 2 1/2n^2 + 4n + 2

So, bevor ich jetzt weiter mache, stimmt das oder ist schon das falsch??
Wie man sehen kann hab ich (n+1) / 2 ausgeklammert, damit man einfacher weiter rechnen kann.

20.01.2011, 12:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von To Be
(n(n+1) / 2)^2 + (n+1)^3 = (n+1) / 2 {(n^2 / 2) + 2*(n+1)^2}

Das ist schon falsch, wie du leicht merkst, wenn du das mal rückwärts rechnest.
Nebenbei: der Begriff "Funktion" ist hier fehl am Platz. Es handelt sich hier um Terme.

Übrigens haben wir auch Latex: $\begin{eqnarray*} (\frac{n(n+1)}{2})^2 + (n+1)^3 \end{eqnarray*}$

20.01.2011, 13:39

To Be

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Ist es

$\begin{eqnarray*} (n(n+1)/2)^2 + (n+1)^3 = (n+1)/2 [n^2(n+1)/2 + 2*(n+1)^2] \end{eqnarray*}$

???

Was muss man eingeben damit über Latex ein Bruchstrich rauskommt??

Habs leider nicht ganz so hinbekommen wie du.

20.01.2011, 15:52

klarsoweit

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Ja, aber es wäre geschickter, wenn du $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^2}{2} \end{eqnarray*}$ ausklammerst.

Und Brüche in Latex gehen mit \frac{}{} .

20.01.2011, 17:11

To Be

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$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^2}{2} \end{eqnarray*}$ ausklammern, alles klar...

DANKE!

20.01.2011, 17:27

To Be

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Also dann hab ich

$\begin{eqnarray*} (\frac{(n+1)}{2}^2) + (n+1)^3 = \frac{(n+1)^2}{2} [n^2 + 2*(n+1)^2] = 3n^2 + 4n + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3n^2 + 4n + 2 \end{eqnarray*}$ ist also das Ergebnis??

Demnach müsste das dann also auch bei diesem Term rauskommen

$\begin{eqnarray*} (\frac{(n+1)(n+2)}{2})^2 \end{eqnarray*}$ =

??

21.01.2011, 08:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von To Be
$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^2}{2} \end{eqnarray*}$ ausklammern, alles klar...

Sorry, ich hatte vergessen, auch die 2 zu quadrieren. Es sollte $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^2}{4} \end{eqnarray*}$ sein. Damit haben wir:

$\begin{eqnarray*} (\frac{n(n+1)}{2})^2 + (n+1)^3 = \frac{(n+1)^2}{4} \cdot (n^2 + 4(n+1)) = \frac{(n+1)^2}{4} \cdot (n^2 + 4n + 4) = \frac{(n+1)^2}{4} \cdot (n + 2)^2 \end{eqnarray*}$

Und damit ist die Sache erledigt.

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