Interpolationsfehler

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolationsfehler
Meine Frage:
Zu bestimmen ist der Interpolationsfehler zwischen der Funktion und dem zugehörigen Interpolationspolynom .

(i) Für Grad n=3

(ii) Sei n=3 und . Bestimmen Sie ein , sodass der Interpolationsfehler kleiner als wird.

(iii) Es sei . Man zeige, dass es ein Interpolationspolynom vom Grade n gibt, sodass der Interpolationsfehler kleiner als wird.

Meine Ideen:
Bis jetzt habe ich mich nur mit (i) befasst.

Man soll ja den Interpolationsfehler bestimmen. Mein erster Gedanke war, ihn abzuschätzen. Würde das ausreichen?
[Natürlich gibt es auch eine Formel, in die man konkret jedes einsetzen könnte, aber DEN EINEN Interpolationsfehler kann man dann ja nicht bestimmen, denn es kommen ja immer leicht andere Werte raus. Außerdem sind keine Stützpunkte vorgegeben, die man für diese Formel bräuichte. Daher meine Idee, ihn einfach allgemein abzuschätzen.

[Nochmal: Wäre das okay?]

Oder anders gefragt: Was muss man denn unter "bestimmen" verstehen - ein bestimmter Wert oder eine Abschätzung?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zu (i):

Also, wenn ich jetzt mal abschätzen will, so benutze ich folgende Formel:

.

Und das wäre meiner Meinung nach angewandt auf die Aufgabe:

.

Nun stellt sich mir erstmal die Frage, ob das Intervall nicht lauten müsste.

Und zweitens, wie man jetzt das Maximum notieren soll.

Denn das Maximum ergibt sich natürlich für und ist .
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Es irritiert mich, dass man den Fehler bestimmen (nicht abschätzen) soll. Es sind doch keine Knoten angegeben. verwirrt



(i) Selbst mit dem offenen Intervall löst sich das Problem nicht, denn der Fehler ist unbeschränkt. Mit der Abschätzungformel ist das imho ungeschickt, denn man trifft eine Aussage über die rechte Seite und das heißt ja "nur", dass die Schranke ggf. "zu groß" ist. Für die Aussage gewünschte aussage müsste man imho von unten abschätzen.

(ii) Hier ist muss mit der groben Abschätzung gearbeitet werden.

(iii) Hier wird reinspielen, dass man das bessere Intervall [1,2] betrachtet.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu (i):

Ich weiß nicht, ob das möglich ist - aber könnte man sich nicht drei Knoten selbst wählen?

Würde einen das weiter bringen?

Zu (ii):

Ich wäre jetzt so vorgegangen:



D.h. es genügt, wenn gilt.

Und das ist z.B. der Fall, wenn man setzt, also das Intervall auswählt.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, man könnte die Tschebyscheff-Knoten wählen. Die Minimieren ja - auf das Intervall gesehen - den Fehler und liegen auch nicht in den Intervallgrenzen. Wie gesagt, ich bin bei der Formulierung verwundert.

Dennoch bleibt das Problem, dass das Polynom auf [0,1] und beschränkt ist, damit auch auf (0,1]. Die zu interpoliernde Funktion ist unbeschränkt auf (0,1]
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht soll ja gerade das dabei herauskommen.

[Was sagst Du zu meiner Idee bei (ii)?]

PS. Ich habe keine Idee, wie man (iii) zeigen könnte [vllt mit Induktion]?
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

.

Deine letze Abschätzung verstehe ich nicht.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Sie ist auch falsch. Danke für die Korrektur.

Demnach müsste y z.B. aus dem Intervall [11,12] stammen.


So und nun noch (iii). Das Einzige, das mir einfiele, wäre Induktion über n zu machen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso [11,12]?

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ich habe gerade nochmal die Aufgabenstellung gelesen und man soll das Epsilon angeben, ab dem der Fehler kleiner als wird.

Ich hatte es fälschlicherweise so verstanden, dass man irgendein Epsilon angeben soll für das dies gilt.

Deinem Graphen nach wäre es also für generell der Fall.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau.

Zitat:
Es sei . Man zeige, dass es ein Interpolationspolynom vom Grade n gibt, sodass der Interpolationsfehler kleiner als wird.


Wie sieht hier die Fehlerabschätzung aus?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Fehlerabschätzung lautet:



Ich weiß damit irgendwie nichts anzufangen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, der Fehler hängt da von 3 Sachen ab. Der Ableitung, dem Intervall und der Fakultät. Durch die geschickte Intervalllänge von 1 bleibt duch nur die frage offen, wie sieht die Ableitung denn aus? Wie sieht die Folge der Maxima auf dem Intervall aus? Wenn sie Steigend ist, schneller oder langsamer als die Fakultät?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Durch die geschickte Intervalllänge von 1 bleibt duch nur die frage offen, wie sieht die Ableitung denn aus?


Kann man das denn allgemein sagen?

Ich erkenne nur, wie sich die Ableitungen entwickeln:

Betrachtet man die n-te Ableitung, so steht im Nenner die (n+1)-te Potenz von x und im Zähler steht jeweils der Zähler des Vorgängers, jeweils abwechselnd multipliziert mit +n+1, -n+1.

Beispiel:



Das bedeutet für den Betrag der (n+1)-ten Ableitung:




Zitat:
Wie sieht die Folge der Maxima auf dem Intervall aus? Wenn sie Steigend ist, schneller oder langsamer als die Fakultät?


Die Folge der Maxima (wenn man den Betrag betrachtet, was ja hier der Fall ist) steigt an.

Beispielsweise ist das Maximum bei (betragsmäßig).


Ich weiß nicht, ob meine Überlegungen bis hier korrekt sind.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Aussage bezieht sich auf den konkreten Fall. Nun schreibe mal ordentlich den Fehler hin. Dann kürzt sich da doch noch was weg und wo das max angenommen wird wissen wir doch auch. Vgl. (ii). Ich bin dann mal weg.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die große Hilfe!

Einen schönen Tag noch!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komm leider nicht weiter.

Ich sehe nur, dass man am Ende wieder quasi das Gleiche stehen hat wie bei (ii) nur etwas allgemeiner und mit anderem Intervall:

.

Muss man hieraus nun n berechnen?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde ich vorschlagen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass da so ca. n=17 rauskommt?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wie willst du - mit deiner geposteten Formel - darauf gekommen sein? verwirrt Da das Intervall bei x=1 beginnt, haben wir ja ein Problem.

Die Grobe Abschätzung lautet:



In der Aufgabe also



Kennst du noch eine Abschätzung?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich kenne keine andere Abschätzung, nur wieder die, die Knoten voraussetzt!
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die meine ich. Habt ihr Knoten immer äquidistant gewählt? Ohne Knoten sehe ich hier keine Möglichkeit. verwirrt
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht, was äquidistant bedeutet.

Ich kenne es nur so, dass Knoten vorgegeben waren.

Wie genau diese gewählt waren, kann ich leider nicht sagen.

In dieser Aufgabe sind jedenfalls keine Knoten vorgegeben...

verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde nun keinen Fehler in der Rechnung. Damit ist die Abschätzung aber viel zu grob.

Äquidistant bedeutet, gleich Abstand benachbarter Knoten.

Was hattet ihr schon für Sätze? Sind Tschebyscheff Knoten bekannt? https://lp.uni-goettingen.de/get/text/1208 Satz 9.19.

Die Aufgabe wäre auch dann erledigt, wenn du ein IP angibst.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Wie willst du - mit deiner geposteten Formel - darauf gekommen sein? verwirrt Da das Intervall bei x=1 beginnt, haben wir ja ein Problem.

Die Grobe Abschätzung lautet:



In der Aufgabe also




Nochmal bitte eine kurze Nachfrage: Du kommst auf das Ergebnis 1, indem Du guckst für welchen y-Wert die Formel, bei der ich oben stehengeblieben war, maximal ist?
Ist das korrekt?

Also wir hatten zum Thema Interpolationspolynome nur: Lagrange, Neville, Newton... sprich die ganzen Standard Polynominterpolationen... und dann kurz (aber wirklich sehr kurz), dass es mit der Konvergenz nicht so einfach ist bei diesen Polynomen (Tschebyscheff-Knoten wurden zwar genannt, aber ich kann mir absolut nicht vorstellen, dass das hier verlangst ist, denn das war ein absolutes Randthema). Und dann hatten wir noch die beiden Fehlerabschätzungen.


Ja, stimmt, man könnte auch ein Interpolationspolynom angeben. Aber damit habe ich nicht weniger Schwierigkeiten. Ehrlich gesagt... wüsste ich da noch weniger einen Ansatz.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

1. Ja, ich habe nach dem Max geschaut.

2. Wenn der verlinkte Satz da ist, hätte man sagen können: Funktion ist auf dem Intervall C1, als Knoten wähle T-Knoten, dann gibt es ein n, so dass die Forderung erfüllt ist. Der Fragetext sagt nicht, dass man n konkret nenne muss.

3. Ansonsten müsste man sich das Knotenpolynom anschauen und dort auf |Max> untersuchen. Kannst du ja mal antesten, ob du da ein Beispiel bekommst. Ich müsste auch probieren.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Welcher verlinkte Satz: Meinst Du Satz 9.15?

[Wenn dieser gemeint ist, so hatten wir den meines Wissens nicht. Vielleicht würde ich ihn aber trotzdem verwenden.]


Was ist nun hier mit "Knotenpolynom" gemeint?

[Ich entschuldige mich für meine vielen Nachfragen.]
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

[WS] Polynominterpolation - Theorie

Knotenpolynom


Ich meinte Satz 9.19
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn doch aber keine Knoten vorliegen, wie soll dann das Knotenpolynom untersucht werden?

[Okay, 9.19. Also dieser Satz kam meines Wissens nicht vor. Ich glaube aber, dass ich ihn verwende im Notfall, wenn nichts Anderes mehr gelingt.]
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du denkst dir eben Knoten aus. Eine andere Möglichkeit sehe ich gerade nicht. Die Einzelnen Faktoren des Knotenpolynoms sind hier ja kleiner 1. Wann ist Abgabe?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

In Ordnung. Es soll sich ja um ein IP vom Grad n handeln, also muss ich mir theoretisch n+1 Knoten ausdenken.

Und wie ich gelernt habe, sollten sie dann gleichen Abstand haben.
(Nur die T.-Knoten haben keine gleichen Abstände, wenn ichs richtig begriffen habe.)

Dann würde ich also die andere Abschätzung verwenden mit den Knoten




Das Maximums des ersten Faktors ist kleiner/gleich eins (weiß man aus der groben Abschätzung), der andere Faktor ist insgesamt kleiner 1, weil jedes kleiner 1 ist.

Okay, aber was nun die Konsequenz davon ist, weiß ich noch nicht. Man muss ja auch sehen, dass es kleiner als wird.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Bei äquidistant sind die Abstände gleich. Dein Umkehrschluss ist falsch.

Probier halt mal für ein paar n aus. Ich mach erst mal Pause.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nochmal eine andere Frage: Liegt hier eine ganze Funktion vor? [Ich weiß, dass die Hyperbelfunktionen ganze Funktionen sind, aber ob eine ganze Funktion ist, weiß ich leider nicht.]

Ich frage das nur, denn in der Vorlesung gab es folgenden Satz für ganze Funktionen:

"Sei f eine ganze Funktion. Dann gilt gleichmäßig für alle mit ."

Mit war hier gemeint: , wobei eine Folge von Intervallteilungen von .

[Vielleicht kann man das verwenden?]
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich nun überfragt. http://de.wikipedia.org/wiki/Ganze_Funktion
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da habe ich schon geschaut.

Da steht nur, dass die Hyperbelfunktionen ganze Funktionen sind und mit der allgemeinen Definition kann ich nichts anfangen bzw. nicht damit überprüfen, ob die gegebene Funktion eine ganze Funktion ist.

"In der Funktionentheorie ist eine ganze Funktion eine Funktion, die in der gesamten komplexen Zahlenebene holomorph (also analytisch) ist."

Ich weiß weder, was holomorphe, noch was analytische Funktionen sind und verstehe die Definitionen nicht. verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wir verlassen hier das Gebiet, auf dem ich helfen kann. Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

...und das ist fatal für mich. Augenzwinkern

Ich dachte halt nur, es wäre vllt. anwendbar.

-------------------------

Also mal zurück zu dem, wo es aufgehört hatte.

Dort hattest Du gesagt, ich müsse das mal für ein paar n austesten.

Wenn ich z.B. die Knoten nehme, dann habe ich

.

Darüber kam ich darauf, dass, wenn man vielleicht die Abstände immer kleiner wählt, erreicht, dass der Ausdruck < wird. So kam ich auf den Satz.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »





VErsteht du was ich meine? Big Laugh
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe:

Dass es, je mehr Knoten man nimmt (und je enger sie zusammen liegen), man sich der Null nähert?

Aber deuten kann ich es nicht.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine


VErsteht du was ich meine? Big Laugh


Halbiere eben so lange weiter, bis du die gewünschte Genauigkeit hast. Dann ist der Fehlerformel doch genüge getan.
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