(1+x^3)*sqrt(x)=1 hat genau eine Lösung x > 0

20.01.2011, 14:37

BigSmile

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(1+x^3)*sqrt(x)=1 hat genau eine Lösung x > 0

Meine Frage:
Hallo erstmal!

Ich habe folgende Aufgabe:
Zeigen Sie, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} (1+x^{3})*\sqrt{x}=1 \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung x > 0 hat.

Nutzen sollte man den Zwischenwertsatz und Monotonie.

Meine Ideen:
Meine Idee war die Gleichung nach x aufzulösen, ich kann nur nichts mit den Hinweisen anfangen. Und ich bin auch nicht mehr sicher ob es so richtig ist die Gleichung nach x aufzulösen.

20.01.2011, 14:44

lgrizu

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RE: Zeigen Sie, dass die Gleichung (1+x^3)*sqrtx=1 genau eine Lösung x > 0 hat.
Wir wollen also zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=(1+x^3) \cdot \sqrt{x}-1 \end{eqnarray*}$ genau eine Nullstelle hat.

Zuerst einmal Zwischenwertsatz, was besagt der?

20.01.2011, 14:50

corvus

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RE: Zeigen Sie, dass die Gleichung (1+x^3)*sqrtx=1 genau eine Lösung x > 0 hat.

Zitat:

Original von BigSmile

Hallo erstmal! Wink

Wink

Zeigen Sie, dass die Gleichung $\begin{eqnarray*} (1+x^{3})*\sqrt{x}=1 \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung x > 0 hat.

Nutzen sollte man den Zwischenwertsatz und Monotonie.

Meine Ideen:
Meine Idee war die Gleichung nach x aufzulösen, unglücklich

unglücklich

.

untersuche die Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=(1+x^{3})*\sqrt{x}-1 \end{eqnarray*}$
auf Monotonie (weisst du was das heisst?)
und verwende den Zwischenwertsatz (halt notfalls nachschlagen !)
zB im Intervall [0 ; 1]

sorry, da hat mal eine Trompete wieder schneller geblasen............ smile

smile

20.01.2011, 15:51

BigSmile

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Also der Zwischenwertsatz besagt, dass wenn man ein Intervall [a,b] alle Werte x aus [a,b ] auch f(x) in [f(a),f(b)] liegen oder?

20.01.2011, 15:54

BigSmile

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Und monotonie bedeutet das die Fuktionwerte einer Funktion entweder nur fallen oder steigen also:
f(a)<=f(b) (oder umgekehrt). Richtig??

20.01.2011, 15:59

mgehrig

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BigSmiles Aussage zum Zwischenwertsatz stimmt, falls die Funktion monoton steigend, fallend ist, was man hier ja zeigen soll. Ansonsten, ist es einfach so, dass alle Werte zwischen f(a) und f(b) angenommen werden, aber es können gut auch noch andere sein.

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20.01.2011, 16:05

corvus

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Zitat:

Original von BigSmile

Also der Zwischenwertsatz besagt,
dass wenn man
ein Intervall [a,b] alle Werte x aus [a,b ] auch f(x) in [f(a),f(b)] liegen oder?

das mag ja sprachlich brillant und hochschulreif sein , aber schau doch sicherheitshalber
mal nach, ob die Formulierungen zB im wiki .. das eventuell noch toppen verwirrt

verwirrt

http://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz
.

20.01.2011, 16:55

René Gruber

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Zitat:

Original von corvus

Zitat:

Original von BigSmile
Also der Zwischenwertsatz besagt,
dass wenn man
ein Intervall [a,b] alle Werte x aus [a,b ] auch f(x) in [f(a),f(b)] liegen oder?

das mag ja sprachlich brillant und hochschulreif sein

Sprachlich brillant: Geschmackssache Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hochschulreif: Nein, weil grottenfalsch. Dazu muss man sich nur mal $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ anschauen, d.h. $\begin{eqnarray*} a=-1,b=1 \end{eqnarray*}$ :

Da behauptet BigSmile allen Ernstes, dass sämtliche Werte von $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in[-1,1] \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [f(-1),f(1)]=[1,1] \end{eqnarray*}$ liegen, d.h. identisch gleich 1 sind - soso...

P.S.: Unter Hinzunahme der Voraussetzung "f monoton wachsend in [a,b]" wird die Aussage zwar richtig, aber sie gilt dann auch für nichtstetige Funktionen und ist für den eigentlichen Anwendungszweck in dieser Aufgabe völlig wertlos.

20.01.2011, 17:49

corvus

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Zitat:

Original von René Gruber

Sprachlich brillant: Geschmackssache Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hochschulreif: Nein, ..

hi, René Gruber, ich glaubs ja nicht:
kann es wirklich sein , dass du den hintergündigen Sinn
dieser Qualifikationen nicht erkannt hast ?
Und das im Hinblick auf diesen nicht zu überbietenden Prachttext:

Zitat:

Original von BigSmile

Also der Zwischenwertsatz besagt,
dass wenn man
ein Intervall [a,b] alle Werte x aus [a,b ] auch f(x) in [f(a),f(b)] liegen oder?

na ja - aber wenn ich auch gleich "grottenfalsch" geschrieben hätte,
dann wäre da sicher aus der Kuschelecke Entrüstung aufgekommen..
.

20.01.2011, 18:53

BigSmile

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Gut ich habe ja jetzt einiges an kritik zu hören bekommen . . .
was ist jetzt mit der definition der monotonie, anscheinend hängen sich manche einfach nur an dem mittelwertsatz auf . . .

20.01.2011, 21:21

lgrizu

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Da weder corvus noch Rene sich bisher wieder gemeldet haben und die Frage offenkundig nicht beantwortet wurde mache ich mal weiter.

Hast du denn den Zwischenwertsatz nun verstanden?

Stetigkeit für x>0 kann hier wohl vorrausgesetzt werden, wenn nicht ist noch zu überprüfen, ob der ZWS überhaupt angewendet werden darf, also Stetigkeit.

Hast du dir Gedanken darüber gemacht, wie Monotonie zeigen könnte?

Was ist mit Intervallschachtelung?

Wir können uns die Funktion ja auch mal anschauen:

21.01.2011, 00:10

BigSmile

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Die Begriffe Monotonie und Intervallschachtelung sagen mir was aber ich weiß nicht wie ich damit arbeiten soll! War mein Def von Monotonie soweit okay??

21.01.2011, 01:10

lgrizu

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Mit Vorraussetzungen hast du es nicht so, oder?

Eine Funktion heißt monoton fallend, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} x_0 \leq x_1 \Rightarrow f(x_0) \geq f(x_1) \end{eqnarray*}$ .

Demensprechend heißt eine Funktion monoton steigend, wenn gilt: $\begin{eqnarray*} x_0 \leq x_1 \Rightarrow f(x_0) \leq f(x_1) \end{eqnarray*}$ , also immer schön darauf achten, so etwas sauber zu notieren.

Nun ist ja klar, wenn die Funktion monoton ist und es Werte x_0, x_1 aus dem Definitionsbereich gibt, für die gilt f(x_0)<0 und f(x_1)>0, dann hat sie genau eine Nullstelle.

Also ran an den Speck.

23.01.2011, 18:38

alex2007

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Also nochmal zu der Lösung der Aufgabe.

$\begin{eqnarray*} f(x)=(1+x^3)\cdot \sqrt x -1 \end{eqnarray*}$

Es soll gezeigt werden, dass diese Funktion genau eine Nullstelle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ hat.

Als erstes würde ich die Monotonie Untersuchen:

$\begin{eqnarray*} (1+x_0^3)\cdot \sqrt x_0 -1 \leq (1+x_1^3)\cdot \sqrt x_1 -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+x_0^3)\cdot \sqrt x_0 \leq (1+x_1^3)\cdot \sqrt x_1 \end{eqnarray*}$

ist wahre Aussage für $\begin{eqnarray*} x_0\leq x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ monoton steigend

Diese Funktion ist offensichtlich stetig in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (muss ich das erst zeigen, oder reicht diese Aussage?)

Jetzt such ich mir geeigneter Weise ein Intervall in dem ein Vorzeichen Wechsel stattfindet.

Bedeutet ich brauche ein $\begin{eqnarray*} \,f(x_0)<0 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} \,f(x_1)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \,x_0 < x_1 \end{eqnarray*}$ .

Wählen wir also nun das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ . Wege der Stetigkeit in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die Funktion auch in diesem Intervall stetig.

Nach dem Zwischenwertsatz folgt nun, dass die Funktion jeden Wert zwischen $\begin{eqnarray*} f(0)=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ im gewählten Intervall annimmt. Das heißt das es eine Nullstelle im angegebenen Intervall geben muss.

Aus der Monotonie folgt, dass es im Intervall nur eine Nullstelle gibt. Außerdem folgt aus der Monotonie (weil sie im gesamten Wertebereich gilt), das diese Nullstelle die einzige der Funktion f(x) ist.

q.e.d.

Ist das in Ordnung so?

23.01.2011, 18:42

lgrizu

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@alex:

Musst du die Aufgabe auch lösen und möchtest entweder die Richtigkeit deiner Rechnung bestätigt wissen oder auf Fehler aufmerksam gemacht werden oder hast du einfach nur eine Lösung gepostet?

23.01.2011, 18:58

alex2007

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Zitat:

Original von lgrizu
@alex:

Musst du die Aufgabe auch lösen und möchtest entweder die Richtigkeit deiner Rechnung bestätigt wissen oder auf Fehler aufmerksam gemacht werden oder hast du einfach nur eine Lösung gepostet?

Jap, ich muss die gleiche Aufgabe lösen und morgen abgeben und wollte wissen, ob das so ok ist!

23.01.2011, 19:06

lgrizu

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Abgesehen von der Aussage, dass die Funktion in ganz R stetig ist habe ich keinen Fehler gefunden.

Da sie für negative Zahlen gar nicht definiert ist kann sie für negative Zahlen auch nicht stetig sein.

Ansonsten sieht das ganz gut aus.

Ob du Stetigkeit erst noch zeigen sollst kann ich dir nicht sagen, ich würde aber, bevor ich Punkte abgezogen bekomme, schnell noch zeigen, dass sie für x>0 stetig ist.

Dass sie dann auf einem kompakten Intervall sogar gleichmäßig stetig ist kann man dann wohl so verwenden, wenn ihr den entsprechenden Satz in der Vorlesung gehabt habt.

23.01.2011, 19:40

alex2007

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Ok, natürlich wegen der Wurzel, also dann ist sie natürlich in $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\geq 0} \end{eqnarray*}$ stetig, weil sie nur da definiert ist. Stimmt, das könnte ich ja noch zeigen.

Danke für das Feedback smile

smile

23.01.2011, 19:59

lgrizu

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Die Frage ist, ob sie für x=0 stetig ist, für x>0 sicherlich, aber wie schaut es für x=0 aus?

Ich würde, ohne einen Stetigkeitsbeweis zu machen erst einmal nur vorraussetzen, dass sie für x>0 stetig ist, das reicht für die folgende Argumentation auch vollkommen aus.

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