Stetige Funktion erstellen

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BigSmile Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Funktion erstellen
Meine Frage:
Hallo!

Ich hab mal wieder eine Frage:

Aufgabe: Bestimmen Sie a,b ? IR, so dass die Funktion f: IR->IR,

f(x) = ...

- für x Element IR\{1,3}
- a für x = 1
- b für x = 3

stetig ist.

Meine Ideen:
Ich würde den Limes der Funktion bestimmen und zwar von links und rechts nach 1 bzw 3. Aber dann . . . ?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Hast Du denn den Limes schon bestimmt und falls ja: was hast Du herausbekommen?
Wenn Du nämlich etwas herausbekommst, bist Du mit der Aufgabe fertig und dein "Aber dann" würde keinen Sinn machen Augenzwinkern
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Guter Ansatz. Hier hast du ja eine rationale Funktion f(x)=P(x)/Q(x). Die Nullstellen von Q(x) sind ja gegeben. Und an diesen Nullstellen ist f genau dann fortsetzbar, wenn diese Nullstellen von P(x) ist. Sonst ist es eine Polstelle. Untersuche doch mal, ob diese Nullstellen ebenfalls auch in P(x) enthalten sind.


Ibn Batuta

Edit: Zu spät. smile
BigSmile Auf diesen Beitrag antworten »

okay und wie bestimme ich am besten den limes von rechts und links? Soll ich den Limes der Folge + 0 berechnen und die 0 als eine Nullfolge darstellen, das ganze umstellen und fertig?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du Dir den Zähler und Nenner mal genauer anschaust, fällt Dir vielleicht etwas auf: Beide lassen sich wunderbar in Linearfaktoren zerlegen.
BigSmile Auf diesen Beitrag antworten »

okay das kann ich machen, aber was kann ich damit anfangen wenn ich die funktion in linearfaktoren zerlege??
 
 
BigSmile Auf diesen Beitrag antworten »

Gut hab jetzt die Linearfaktoren und daraus kann ich erkennen, dass die Nullstelle -3 und -1 sind. An den Stellen für x = 1 bzw = 3 sind Lücken, welche ich ja beheben muss um eine stetige Funktion zu erhalten, oder?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, allerdings interessieren die Nullstellen hierbei gar nicht.
Wichtiger ist die Erkenntnis, welche Terme Du kürzen kannst, um so die beiden Grenzwerte durch direktes Einsetzen zu bestimmen.
alex2007 Auf diesen Beitrag antworten »

Sitze gerade an der gleichen Aufgabe.

Offensichtlich haben ja Zähler und Nenner-Polynom die gleichen Nullstellen, was bedeutet, dass es sich um eine stetigbehebbare Definitionslücke handelt.

Wie bilde ich den nun aber den Grenzwert? verwirrt

Wenn ich das mache, wie immer kommt 0/0 und das ist nicht Sinn der Sache.
alex2007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, ich hab es denke ich.

Aus der Tatsache, das 3 und 1 Nulstellen des Zähler- und des Nennerpolynoms sind, lässt sich natürlich kürzen. Da es die einzigen Nullstellen, des Nennerpolynoms sind, lässt sich also eine Polynomdivision durchführen.



Jetzt kann ich natürlich den jeweiligen Limes bestimmen:





Stimmt das so?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ist richtig, auch wenn Polynomdivision hier der umständlichere Weg ist.
Einfacher geht es über die oben erwähnte Linearfaktorzerlegung:

BigSmile Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Ist richtig, auch wenn Polynomdivision hier der umständlichere Weg ist.
Einfacher geht es über die oben erwähnte Linearfaktorzerlegung:



Ja so hab ich das ganze auch gelöst smile
Danke noch für die Hilfe!!
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